成都理工大学 高数下 重修 PPT D9_3全微分.ppt

文档介绍：第二节
一元函数 y = f (x) 的微分
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关,
称为函数
在点(x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微
当函数可微时:
得
函数在该点连续
偏导数存在
函数可微
即
定理1(必要条件)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微,
则该函数在该点的偏导数
同样可证
证:因函数在点(x, y) 可微, 故
必存在,且有
得到对 x 的偏增量
因此有
反例: 函数
易知
但
因此,函数在点(0,0) 不可微.
注意: 定理1 的逆定理不成立.
偏导数存在函数不一定可微!
即:
定理2 (充分条件)
证:
若函数
的偏导数
则函数在该点可微分.
所以函数
在点
可微.
注意到
, 故有
推广:
类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数<br作
故有下述叠加原理
称为偏微分.
的全微分为
于是
例1. 计算函数
在点(2,1) 处的全微分.
解:
例2. 计算函数
的全微分.
解:
3. 设
解:
利用轮换对称性, 可得