高数下第九章 多元函数微分法及其应用.doc

文档介绍：第八章多元函数微分法及其应用
§1极限与连续
求下列极限:
(1);
解:初等函数在其定义域内连续。==
(2)
(3)
(4)=
(5)

(1);
解令则
,不同的路径极限不同,故极限不存在。
(2).
当时
当时,不同的路径极限不同,故极限不存在
用定义证明:.
解:由,故对取,当时,故
§2 偏导数
求下列函数的偏导数:
(1);
(2)
解:,
(3)
(4)
解:关于是幂函数故:,
关于是幂指函数,将其写成指数函数,故:
(5)
关于是幂函数故,
关于是幂函数故,关于是指数函数。(6)

(1)曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为
解法一:由偏导数的几何意义知:函数在点关于的偏导数就为
曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角(记为)的正切,即:
,得,故。
解法二:求曲线在点处的切向量,将曲线参数化为,在的切向量为,故曲线在点处的切向量为,若记它与轴正向所成的倾角为
,则,故曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为
(2)设,则=
法一:,故
法二故
(3)设,则= .
由,,有

用定义证明:在处连续,且偏导数存在.
证明(1)用定义证明在处连续:
由,
故,故在处连续
(2)
:
(1)
,
(2)
, ,
验证满足:
证明:,
同理可得,,
故
设,求
,,
§3 全微分
判断
(1)若函数在点可微,则函数在点偏导数存在.( T )
(2)偏导数存在是可微的充分条件.( F )(必要条件)
(3)可微必连续.( T )
(4)连续必可微.( F )
(5)若函数在一点偏导数存在且连续,则函数在该点一定可微.( T )
:
(1);
法一:,
法二
(2);
,
(3).
,,
=
,并求的值.
,
.
分析用定义去证明函数在可微性,(1)首先考察在的可导性,若不可导,则不可微。(2)若可导求出,,算出全增量,和偏增量,(3)考察全增量与偏增量之差是否是的高阶无穷小,即极限是否为零。若为零则可微,否则不可微。
解:首先考察在的可导性,
(无穷小乘有界函数为无穷小)
全增量
偏增量
(无穷小乘有界函数为无穷小)
故函数在点的可微。
.
解:令,由于函数是初等函数故在可微
,
即,故:
§4 多元复合函数的求导法则
求解下列各题:
(1),求;
(2),求;
注意不要写成
(3),求;
法一:令则。
法二:关于是幂指函数转化为指数函数
则

法三:取对数得,,两边关于求导得
,
(4),求;
(5),求;
(6),求.
,
:(需要注意的是复合函数在求导以后仍然是复合函数,求高阶导时仍然要用链式法则)
(1),求。
,(注意到为
(2),求;