文档介绍：南华大学高数练习册第九章多元函数微分法及其应用
第一节多元函数的基本概念
(1)
(2)
(3)
2. (1)解:
(2)解:
3. (1)解:,,极限与路径有关,所以极限不存在.
(2)解:,,极限与路径有关,所以极限不存在.
4. 解:令,得, 代入
得
    
第二节偏导数
1. (1)解:
(2)解:
(3)解:
(4)解:
2. 解:

3. 解:

4. 解:
第三节全微分
1.(1)解:
(2)解:
(3)解:
2. 解:设

, ,
3. (1)解:令,则,
取
所以
(2)解:设,则
取,则
4. 证明:,当时,有
成立

在点处连续
又,
所以在点处可导
而不趋于0
故在点处不可微
第四节多元复合函数的求导法则
1. 解:
2. 解:
3. 解:
4. 解:

5. 解:

第五节隐函数求导公式
1. 解:令,
则
2. 解:令

3. 解:令

4. 解:方程组两边对x求导,得
即
,
5. 解:是已知函数的反函数,方程组两边对x求导,得
整理得
解得
6. 解:方程组两边对y求导得
即
解得
第六节多元函数微分学的几何应用
1. 解: 切点切向量为
切线方程为
法平面方程为
2. 解: 切向量为
切线方程为
法平面方程为
3. 解: 方程组两边对求导,得

切向量为
切线方程为
法平面方程为
4. 解:令则, ,
切平面方程为
法线方程为
5. 解:平面的法向量为
令则,,
由得即
设切点为,则且
解得,,
过点的切平面为
过点的切平面为
6. 解:已知直线的方向向量为
设所求法线的方向向量为,则
又因为, 则
得
所求法线方程为
第七节方向导数与梯度
1. 解:由得切向量为
,
所求的方向导数为
2. 解:切向量为,处,,,

,
3. 解: ,

(1)
(2)沿对应方向的方向导数最大,最大值为
4. 解:
第八节多元函数的极值及其求法
1. 解: 由得
, ,
,,有极小值
2. 解:设所求的点为,设
令
所求的点为
3. 解:设所求平面方程为,点在所求平面上,则
所围成的四面体体积为,
令

所求平面方程为
4. 解: 设椭圆上的点为P(x,y,z),则
|OP|2=x2+y2+z2.
因P点在抛物面及平面上,所以约束条件为
z=x2+y2, x+y+z=1
设F(x,y,z)= x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)
解方程组
得
由题意知,距离|OP|有最大值和最小值,且
.
所以原点到椭圆的最长距离是,最短距离是
第九章综合练习题
1. (1)B (2) B(3)A (4)B(5)B (6)D(7)D (8)B
2. 解:方程两边同时对求导,得
3. 解: ,
,
4. 解:

5. 解:方程组两边同时对求导,得