文档介绍：特征值和特征向量的性质与求法
(陕理工理工学院(数学系)数学与应用数学专业)”
[摘要] :本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。
[关键词]:矩阵线性变换特征值特征向量
1 特征值与特征向量的定义及性质
定义1:(ⅰ)设A是数域p上的n阶矩阵,则多项式|λE-A|称A的特征多项式,则它在 c上的根称为A的特征值。
(ⅱ)若λ是A 的特征值,则齐次线性方程组(λE-A) X=0的非零解,称为A 的属于特征值λ的特征向量。
定义2:设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换,如果对于数域P 中的一数存在一个非零向量ξ,使得aξ=ξ,那么成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值的一个特征向量。
性质1: 若λ为A 的特征值,且A 可逆,则、则为的特征知值。
证明: 设为A的特征值,则=
∴λi≠0(i=1、2…n)
设A的属于λ的特征向量为ξ则则λξ=ξ即有ξ=ξ
∴为的特征值,由于A最多只有n个特征值
∴为ξ的特征值
性质2:若λ为A的特征值,则为的特征值
=+
证明:设ξ为A的属于λ的特征向量,则Aξ=λξ
∴ξ=(+)ξ
= ξ+ ξ+…+ ξ
=ξ++…+ξ
=ξ
又ξ≠0
∴是的特征值
性质3:n阶矩阵A的每一行元素之和为a,则a一定是A的特征值
证明:设 A=
则由题设条件知:
==a
∴a是A的特征值
推论:若λ为A 的特征值,且A 可逆,则为的特征值(为A 的伴随矩阵)。
证明:因为=
而的特征值为.
再由性质2知:是的特征值
性质4:一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。
证明:因为
所以与A具有相同的特征多项式,则它们具有相同的特征值。
性质5:如果λ是正交矩阵A的特征值,那么也是A的特征值。
证明:设λ是A的特征值,那么存在非零向量ξ使得
Aξ=λξ用作用之后得ξ=λξ
又 A的特征值一定不为零,所以λ 0
是的特征值,
又 A是正交矩阵=
为的特征值
又 A与相似,与A有相同的特征根
也是 A特征根
性质6:设是A对应于特征值的特征向量, 是的对应与的特征向量。
若 A= 则= (1)
并有= (2)
给(1)右乘以、(2)左乘以相减得
0=- 则=0
性质7:设A、B均为n阶矩阵,则AB 与BA的特征向量相同。
证明:若λ是AB的特征值,x是相应的特征向量
若 BX≠ 0 则 BABX=λBX
若 BX=0 B不是可逆矩阵(否则x=0)
∴ BA也不是可逆矩阵
故必有特征值0 同样AB也有特征值0
由此AB与 BA有相同的特征值。
2 特征值与特征向量的求法
矩阵特征值与特征向量的求法
①基本计算法
(ⅰ)求出矩阵A 的特征多项式
(ⅱ)求出的全部根
(ⅲ)把特征值逐个代入齐次线性方程组并求它的基础解系,即为A的属于特征根的线性无关的特征向量。
②用初等变换法
利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时,同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量,而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。
定理1:设F= 且列初等变换→,其中为下三角矩阵,则的主对角线上的全部元素的乘积的
λ多项式的