文档介绍：差商及牛顿基本插值公式:(节点非等距分布)
差商概念:割线法中曾涉及到:
设在互异点的值分别为
则关于点的一阶差商为:
关于点
的一阶差商为:
关于点
的二阶差商为:
一般的,
记的关于
的m阶差商为
对k阶差商,有以下性质
(1) 函数f(x)的k阶差商
可由函数值
线性组合得到,且有:
可用数学归纳法证.
特殊地, 称为0阶差商.
现假设k=l - 1时结论成立, 即有
于是
当k=0时, 左边=
右边=
此时结论正确.
所以对k=l 时也成立. 由归纳法知,该性质成立.
可利用该性质简化计算差值商:
例如已知f(x0)、 f(x1)、f(x2), 则
另外,改变节点顺序,不影响差商值。
② k阶差商与k 阶导数直接关系
简要证明: 设
考虑余项
易知
, 即有k+1个互异的零点
反复应用罗尔定理知:
至少有一个零点
③若节点等距分布, 差商与差分关系:
其中h为步长,△为向前差分,▽为向后差分.
可知:
由
简要证明, 可使用数学归纳法.
设结论对m阶差分成立, 即有
则有
利用差商构造牛顿基本插值公式
(与牛顿向前插值公式类似):
由可得
由可得: 即为
(0阶差商)
由可得:
即
对一般的n次插值多项式, 可设
由可得:
所以
余项公式:
①
∴通过n+1个非等距分布节点的n次插值公式为:
类似地, 可得:
②也可写成:
∵可利用差商定义
把后一式代入到前一式,可得:
∴可得到Rn(x)的计算公式②.
具体使用②考虑误差时,可先使用牛顿插值公式求出
f(x),再使用该差商公式计算
或直接由近似表示.
例:使用牛顿基本插值公式,计算前面例子中的
构造差商表:
x
一阶差商二阶差商
100 10
121 11
144 12
∴
=10,
=,
=-