文档介绍：一类具有密度制约的捕食与被捕食系统的定性分析
李畅通
(西安工业大学理学院,陕西西安 710032)
摘要:(目的)基于综合害虫控制策略,对捕食者具有密度制约的捕食与被捕食系统进行了定性分析。(方法)利用脉冲微分方程中的Floquet理论和比较方法,(结果)证明了当脉冲周期小于某临界值时,系统的害虫根除周期解是全局渐近稳定的,进一步给出了系统持久性的条件。
关键词:全局稳定;周期解;持续生存;密度依赖
中图分类号: 文献标识码:A
(研究意义)在过去的几十年中,有效控制害虫已经变得日益复杂。综合害虫管理利用所有适当的方法和技术采用尽可能互相配合的方式来控制害虫种群不引起经济危害水平,常用的方法有化学控制,生物控制和人工防治等。生物控制是利用有害生物和生物之间相互调节,相互制约的生态平衡理论来控制害虫的数量,即可以有效控制害虫又可以保护生态和人畜健康,因此生物控制日益受到重视。化学控制是是利用杀虫剂等化学物品来迅速大量的杀死害虫,尤其是当害虫数量巨大而投放自然天敌不能有效控制害虫,必须利用化学控制来控制害虫。然而长期使用杀虫剂会污染环境,破坏生态平衡,而且害虫慢慢具有抗药性。因此在实施害虫控制时应该有效结合两种控制策略,才能有效控制害虫,又能保护环境,实现可持续发展。实验和理论也证明,IPM要比任何经典的方法(如化学控制,生物控制等)更加有效。
(前人研究进展)近年来,具有综合害虫控制的的捕食与被捕食系统已经得到了广泛研究并得到了很好的结论。(研究的切入点)然而这些文献仅考虑了捕食者的自然死亡,对种群内之间争夺资源及其它原因引起的死亡没有考虑,如种群内竞争、捕食、寄生、疾病和种内调节等生物因素导致的死亡率。(研究拟解决的关键问题)因此,本文研究了脉冲控制下捕食者之间具有密度制约因素的捕食与被捕食系统:
(1)
式中和分别是在时刻害虫和天敌的种群数量;均为正常数;为捕食者的自然死亡率,为捕食者的竞争因子;和分别是喷洒杀虫剂时害虫和天敌的残存率; 是按常数投放天敌,它与捕食者的种群数量无关;是脉冲周期。文中研究了当脉冲周期小于某临界值时,系统的害虫根除周期解是局部渐近稳定的,通过微分方程比较定理得到了系统持久生存的条件。
1 预备知识和基本引理
令表示非负整数集,在,上连续。令为系统(1)前两个方程的右端映射,显然的光滑保证了解得存在唯一性。
引理 令是系统(1)的一个解,如果初值,那么对于所有都有成立。进一步,如果,那么对于所有都有。
基金资助:西安工业大学校长基金项目(XAGDXJJ1136)
作者简介:李畅通(1982-),男,西安工业大学,硕士,:lctnihao@
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定义 若存在正常数和,系统(1)所有正解(x(t),y(t))满足
则称系统(1)是持久生存的。
引理 (比较定理) 令在连续存在,为非递减的,假设有
令脉冲微分方程
的最大解存在,则对当。
首先,给出系统(1)的子系统的基本性质
(2)
引理 :系统(2)存在一个正的周期解为
,,
其中,。
证明:积分系统(2)的第一个方程有
既有。当时,有
(3)
令代入上式得到差分方程的唯一稳定点为
,