文档介绍：三重积分的计算
三重积分的概念
三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分的概念
三重积分在柱坐标系下的计算
三重积分在球坐标系下的计算
三重积分的变量代换
预习导引三重积分的定义
设 3 为有界区域.
⊆ R
坐标系中体积元素的表示. f (x, y, z) ,L,ΔΩn.
,三重积分化为累次积分有两种ΔVi表示ΔΩi 的体积. 在每个小区域ΔΩi 中任取一点 Pi ,
形式:①先一后二,即先算一个定积分,再算一个 n
构造和式:∑ f (Pi )ΔVi . 记各小闭区域直径中的最大值为λ.
二重积分;②先算一个二重积分,再算一个定积 i=1
. n
如果λ→ 0时, 和式:∑ f (Pi )ΔVi 存在极限,
:先算一个关于z i=1
n
的定积分,然后用极坐标计算二重积分.
则称函数 f (x, y, z) :∑ f (Pi )ΔVi 的极限
,取决于①积分区域 i=1
的形状,②被积函数的形式. 称为 f (x, y, z) ∫∫∫Ω f (x, y, z)dV .
f (x, y, z) 在Ω上的三重积分:
三重积分的物理意义
n (triple integral)
∫∫∫ f (x, y, z)dV = lim ∑ f (Pi )ΔVi .
Ωλ→0
i=1 如果f (x, y, z)表示某物体在点(x, y, z)处的体密度,
dV 称为体积元素. Ω是该物体所占有的空间闭区域, f (x, y, z)在Ω上连续,
在直角坐标系Oxyz中,dV = dxdydz n
则是该物体质量的近似值这个和
∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )Δvi M ,
i=1
f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dxdydz .
∫∫∫Ω∫∫∫Ω当λ→ 0时的极限就是该物体的质量M ,即
计算三重积分的方法:
M = ∫∫∫ f (x, y, z)dv.
在一定的坐标系中将三重积分化为累次积分. Ω
1
假设Ω是一个柱体,母线平行于Oz 轴,下底为曲面
S1 : z = z1(x, y) , 上底为曲面 S2 : z = z2 (x, y) .
Ω在 xOy 平面上的投影为闭区域 D .
三重积分在直角坐标系下如果 f (x, y, z) 在Ω连续, z
S2
的计算则有
∫∫∫ f (x, y, z)dv = Ω
Ω S1
z (x, y)
dσ∫ 2 f (x, y, z)dz
∫∫D z1 ( x, y) o
y
三重积分化为二重积分和 D
定积分组成的累次积分. x
z ( x, y) 3 4
2 f (x, y, z)dz 是 x, y 的二元函数. 例1 计算三重积分 I = ∫∫∫ x y cos zdxdydz .