文档介绍：等差数列与等比数列解题技巧
【摘要】在高中数学课程内容中,数列作为离散函数的典型代表之一,不仅在高中数学中具有重要位置,而且,,在我们高中数学中是很有必要的.
引言:数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n项和公式和性质及常见的数列的求和方法.
求数列通向公式的方法
分析法
通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系,求出数列的通向公式.
例1、写出数列的一个通向公式
、,,,... (2)、2,
解:(1)原列各项可以写成有数列
故原数列的一个通向公式为
(2)、原数列可改写为
故其通向公式为
例2、根据下面各个数列的首项和递推公式,写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式
、;
解:分析:写出前4项,找出规律,然后归纳出通向公式.
、由已知,得
即
故数列的一个通向公式为
、由已知,得
即
故数列的一个通向公式为
注:上述题设给出,数列的前n项或给出递推公式和初始条件,分析数列的特征,找出规律,写出通向公式.
待定系数法
例1、已知数列的通向公式是关于n的二次多项式,按照下列条件,写出数列的一个通向公式.
、(2)、(3)、
分析:设出然后将代入求出系数即得通向公式.
解:(1)、依题意,得解得
、设依题意,得解得
、设
注:由n个独立条可确定n个参数的值,因此,当已知数列中m项数值时,可设通项为(m-1)次多项式,并应用待定系数法,求出这一多项式个项系数的值,进而写出的表达式。
换元法
换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式,构造出等差数列或等比数列,这种被构造出来的数列称为辅助数列,借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.
例1、已知数列求数列的通向公式.
分析:将变形为换元后转化为求等差数列的通向公式.
解:将已知条件改写为
令
数列是以为首项,公差为的等差数列,
将上述(n-1)个式子相加,得:
例2、数列
分析:将转化为求等比数列的通向公式.
解:
数列是以为首项,以2为公比的等比数列.
累加法
例1、求数列:6,9,14,21,30,...的通向公式.
分析:观察数列的特征,后面一项减去前面一项的差组成的数列:3,5,7,9,...是首项为3,公差为2的等差数列,故可先求出数列的通向公式,再推出的通向公式.
解:设原数列中相邻两项(后项减去前项)的差所组成的数列,则,
显然,
各式相加,得:
乘约法
例1、已知数列满足,且,求通向公式.
分析:由得,当1,2,3,...,(n-1)时得到n-1个关系式,将这n-1个关系式连乘可得的通向公式.
解:由得,
当时,有,
将以上各式左右两端分别相乘得,
又也满足上式,
.
注:必须对进行验证,若满足关系式,则统一写成的形式;若不满足,要写成分段形式.
构造数列法
由已知递推公式进行变形,构造出新的等比数列,然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.
例1、已知数列满足其中证明这个数列的通向公式是
分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明.
证法1(累加法),两边同除以得:
,
当时,有:
,
将以上各式分别相加,得
,
证法2:(构造法)设可化为,
由待定系数法可得:
,
可知数列为以为首项,以为公比的等比数列,
递推法
例1、已知数列中,,,求的通向公式;
解:,
简单的递推数列即处理策略
、对型数列通项的求法可用累加法或乘约法.
、对型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
、对型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
对型数列通项的求法两边同加上一个常数,这个常数是方程的根,然后构造数列求解.
、对型数列通项的求法由代入原关系式中化只含有或的关系式,然后求解.
有关“,”型数列通项公式的求法.
例1、数列中,,(为常数,)且成公比不为1的等比数列.
、求的值;
分析:(1)由成等比数列可求出;(2)用累加法可求通向公式.
解(1),,
因为成等比数列,
所以,
解得或,
当时,不符合题意,舍去,故.
当时,由于,
所以.
又,=1时,上式也成立.
所以.
有关“,”型数列通项公式的求法.
例1、在数列中,,.
、设,证明:数列是等差数列.
、求数列的前项和.
分析:此题可先求出,也可通过变形直接证明,求出,再求出,进而求出.
证明:,
,,即,,
故数列是首项为1,公差为1的等差数列。
解:由(1)知,,则
,
,
两式相减,得
.
有关“,”型数列通项公式