高考数学数列的综合应用2.doc

文档介绍：题目第三章数列数列的综合应用
高考要求
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题
(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题
知识点归纳
1通项与前n项和的关系:
2迭加累加法:
,
, ,………,

3迭乘累乘法:
,,,………,
4裂项相消法:
5错位相减法:
, 是公差d≠0等差数列,是公比q≠1等比数列
所以有
6通项分解法:
7等差与等比的互变关系:
8等比、等差数列和的形式:
9无穷递缩等比数列的所有项和:
题型讲解
例1 等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时,Sn最大?
解:根据,首项a1>0,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时,Sn最大;
若m+k为奇数,当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时,Sn最大
例2 已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>对于一切大于1的自然数n都成立,求a的取值范围
解:把 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式
∵f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)
∴f(n+1)- f(n)=〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2) 〕
-〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕
=1/(2n+2) +1/(2n+1) -1/(n+1)
=1/(2n+1) -1/(2n+2) >0
∴f(n+1)> f(n)
∴函数f(n)是增函数,故其最小值为f(2)=7/12,
∴ 7/12>,
解得:1<a<(+1)/2
例3 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q且q≠1, p≠1, 设Cn=an+bn,}的前n项和,求
解:,以下分两种情况讨论:
(1)当p>1时,
∵ p>q>0,∴ 0<q/p<1Þ=0,=0,
两边同除以pn,得:=p;
(2)当p<1时,
∵ p>q>o,∴ 0<q<p<1Þ=0,=0, ∴=1
例4 如图所示:已知抛物线y=x2,点An的坐标为(1,0),将OAn分为n等分,分点为A1,A2,…An─1, 过A1,A2,…An─1,An分别作y轴的平行线,分别交抛物线于B1,B2,B3, …Bn─1,Bn,再分别以OA1, A1A2,A2A3, …An─1An为宽作n个小矩形求n个小矩形的面积之和;求(即曲边梯形OAnBn的面积)
解:Sn=
=(n+1)(2n+1)/(6n2);
=1/3
本题用极限的思想求曲边梯形的面积,正是高等数学中的思想
例5 等差数列{an}中,已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r∈N)是关于x的一组方程
①证明这些方程中有公共根,并求这个公共根;
②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明:数列{1/(mr+1)}是等差数列
解:①依题意,由{an