文档介绍：线性代数
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教学目的:通过本章的教学使学生理解方阵特征值与特征向量和相似矩阵的概念、.
教学要求:要求学生深刻理解方阵对角化的条件,会将一个方阵化成对角矩阵.
教学重点: 相似对角化条件和方阵的对角化.
教学难点:相似对角化条件和方阵的对角化.
教学时间:8学时.
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第五章方阵的特征值特征向量与相似化简
教学目的:通过本节的教学使学生了解数域和多项式
的根理解方阵特征值与特征向量概念,掌握方阵特征值与特
征向量的求法.
教学要求:理解方阵特征值与特征向量概念,.
教学重点:各种求特征值与特征向量方法.
教学难点:求矩阵的特征值与特征向量.
教学时间:2学时.
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§1 数域多项式的根
§2 矩阵的特征值与特征向量
第五章方阵的特征值特征向量与相似化简
本章将讨论的内容包括数域、多项式的根、方阵的特
征值与特征向量,相似矩阵及其性质以及在相似条件下把
矩阵化简为对角矩阵和Jordan形矩阵的相关问题.
§1 数域多项式的根
数,
数学问题,
式x4-2的因式分解问题,它在有理数范围内已经不能再分
解了,而在实系数范围内就可以分解为
进而在复系数范围内就可分解为
数域
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可见对于同一个问题,当所考虑的数的范围不同时,结果
,我们常常需要事先指明所涉及数的
.
设F是一个数集,其中至少包括两个不同的
、差、积、商(当除数不为零
时)仍是F中的数,则称F为一个数域.
,,
若α∈F,则α- α=0 ∈F,由于F 中必有非零数b,于是
如果集合F中的任意两个元素做某种运算其结果仍在F
中,,数域就是含有不同
元素并且对四则运算(除数不为0)封闭的数集.
第五章
实数域、
.
有理数域是最小的数域;复数域是最大的数域.
以下讨论问题时,凡涉及到数的,我们总假设是在某
,参与运算的数都要限定在该数域内
例如,f(x)是实数域上的多项式,就是指f(x)的所有系
数都是实数.
容易验证,全体有理数的集合是一个数域,称为有理
数域,、全体复数的集合也都是数域,分别称为实数域和复数域,记为R和C.
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多项式的根与标准分解式
对于非负整数n及数域F上的数ai(i=1,2, …,n),
变量x的形式表达式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 (1)
≠0时,则称(1)为一个
一元n次多项式,非零数an称为该多项式的首项系数,a0称为常数项.
例如 3x4+x-2是一个4次多项式;
3是一个0次多项式;
,也可以认为它的次数为-∞.
第五章
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对于正整数n,与n次多项式f(x)对应的方程f(x)=0称为
n次代数方程.
例如一元二次方程
ax2+bx+c=0, a≠0.
它的根依据a,b,c的不同取值可能为不同二实根、相同二
,其重复出现的
.
在复数域上, n次代数方程恰有n个根(n≥1).
对于n次(n≥1)多项式f(x),代数方程f(x)=0的
根亦称为多项式f(x)的根或零点.
: n次(n≥1)多项式f(x)在复
数域上恰有n个根(重根的个数按其重数计算).
按照根与一次因式的关系,多项式f(x)的每一个根xi都
对应着f(x)的一个一次因式x-xi,如果n次多项式(1)的全部
互异的根为x1,x2, …,xt,它们的重数分别为n1,n2, …,nt,则
有
(2)
并且n1+n2+ …+nt=n.
(2)式右端称为多项式f(x)在复数域上的标准分解式.
例如对于多项式f(x)=x3+2x2+x,分解式
f(x)=x(x+1)2,
f(x)=(x+1)2