文档介绍：该【线性代数课件：第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简（第四讲） 】是由【窝窝爱蛋蛋】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【线性代数课件：第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简（第四讲） 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。§5实对称矩阵的相似对角化
.
证明设A为n阶实对称矩阵,,α是与之对应的特征向量,即
Aα=λα.
两边取共轭,且A为实矩阵,于是有
两边取转置并右乘α,有
在Aα=λα两边左乘,
两等式相减得
由于α为非零向量,故有
.
证明设A为n阶实对称矩阵,λ1,λ2为A的两个不同的特征值,α1,α2是A分别对应于λ1,λ2的特征向量,即
Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,
前式两边取转置并右乘α2,后式两边左乘α1T,
α1TAα2=λ1α1Tα2,α1TAα2=λ2α1Tα2,
两式相减可得
(λ1-λ2)α1Tα2=0.
由于λ1≠λ2可得α1Tα2=(α1,α2)=.
,则必有n阶正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ,Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角阵.
注:由此定理可知,实对称矩阵一定可以相似对角化.
求一个正交阵Q,使Q-1AQ=Λ为对角矩阵.
例1设矩阵
求一个正交阵Q,使Q-1AQ=Λ为对角矩阵.
例2设矩阵
我们可以用正交变换实现实对称矩阵的相似对角化,但这并不意味着实对称矩阵对角化的相似因子只能是正交矩阵,例如下面这个例题:
例3设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=0,λ2=-1(二重),A的属于λ1的特征向量为α1=(0,1,1)T,求A.
作业
(A)1(1),2.
(B)1.