文档介绍：2014上海中考数学压轴题复习
2012/5/26
2001年上海市数学中考
,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
图8
①求证;△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程).
27.(1)①证明:
∵∠ABP=180°-∠A-∠APB,∠DPC=180°-∠BPC-∠APB,∠BPC=∠A,∴∠ABP=∠DPC.∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴∠A=∠D.∴△ABP∽△DPC.
②解:设AP=x,则DP=5-x,由△ABP∽△DPC,得,即,解得x1=1,x2=4,则AP的长为1或4.
(2)①解:类似(1)①,易得△ABP∽△DPQ,∴.即,得,1<x<4.
②AP=2或AP=3-.
(题27是一道涉及动量与变量的考题,其中(1)可看作(2)的特例,故(2)的推断与证明均可借鉴(1),模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,这是中学生学数学应具备的一种基本素质,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径.)
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
图5图6图7
探究:设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.
(图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用)
五、(本大题只有1题,满分12分,(1)、(2)、(3)题均为4分)
27.
图1 图2 图3
(1)解:PQ=PB ……………………(1分)
证明如下:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,M都是矩形,△P都是等腰直角三角形(如图1).
∴ NP=NC=MB. ……………………(1分)
∵∠BPQ=90°,∴∠QPN+∠BPM=90°.
 而∠BPM+∠PBM=90°,∴∠QPN=∠PBM. ……………………(1分)
又∵∠QNP=∠PMB=90°,∴△QNP≌△PMB. ……………………(1分)
∴ PQ=PB.
(2)解法一
由(1)△QNP≌△=MP.
∵ AP=x,∴ AM=MP=NQ=DN=,BM==1-,
∴ CQ=CD-DQ=1-2·=1-.
得S△PBC=BC·BM=×1×(1-)=-x. ………………(1分)
S△PCQ=CQ·PN=×(1-)(1-)=-+x2 (1分)
S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=x2-+1.
即 y=x2-+1(0≤x<). ……………………(1分,1分)
解法二
作PT⊥BC,T为垂足(如图2),为正方形.
∴ PT=CB=PN.
又∠PNQ=∠PTB=90°,PB=PQ,∴△PBT≌△PQN.
S四边形PBCQ=S△四边形PBT+S四边形PTCQ=S四边形PTCQ+S△PQN= …(2分)
=CN2=(1-)2=x2-+1
∴ y=x2-+1(0≤x<). ……………………(1分)(3)△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△PCQ是等腰三角形,
此时x=0 ……………………(1分)
②当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图3)
……………………(1分)
解法一此时,QN=PM=,CP=-=CP=1-.
∴ CQ==-(1-)=-1.
当-x=-1时,得x=1. ……………………(1分)
解法二此时∠CPQ=∠PCN=°,∠APB=90°-°=°,
∠ABP=