文档介绍：高数Ⅱ、平面与直线数量积是一个实数,向量积是向量,混合积是实数。注意:。内积为0两向量垂直,混合积为0三向量共面、线性相关。例:设为三个非零向量,则是共面的_________条件。(充分不必要)利用向量必考题型:、线面角、面面角用内积求方向向量或法向量的夹角;;;;;、直线方程的建立;、直线的关系(特殊情况垂直、平行)的判定(用向量判定)。向量关系:(1)的充要条件:存在实数;;(2)的充要条件:(3)三向量共面的充要条件:存在不全为0的实数;直线的一般式方程为,其方向向量为。定点M到直线L的距离:设则两直线的距离(公垂线的长度):设,则两平面的夹角且。两直线的夹角且。若,则共面的充要条件是空间曲线的一般方程:,其切向量空间曲线在坐标面上的投影曲线:消去z得到关于xOy平面的投影柱面,C在平面xOy上的投影曲线方程为,其他坐标平面上的投影曲线同理。:设,则f(x,y)在点(0,0)处(),偏导数也存在,:①设P(x,y)沿着直线y=kx趋向点(0,0),则②同理可得③,,不可微。、:设有三元函数,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个领域,在此领域内该方程():令,:设,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求。解:(组)确定的隐函数微分法这类题目有以下几种形式:由具体方程(组)确定的隐函数微分法;由抽象函数的方程(组)确定的隐函数微分法;由显函数与隐函数混合的微分法。形式虽然不同,但方法是一样的。例1:设是由所确定的二元函数,求。解:法一,写成,按隐函数求导公式:法二,不用公式,直接将方程两边分别x,y求偏导,得:,解得,求同上法三(取微分):将方程两别同时求微分得:,由全微分的公式得,,以下同解法一。评析:一般用解法二,避免解法一的公式的记忆。=y(x),z=z(x),是由方程所确定,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,且,求。解:两个关系式中,视x为自变量,y与z为因变量,将两式两边分别对x求导得:,,,变更方程的形式例:设变换可把方程简化为,求常数a。解:代入方程化简得:由题设得:,解得a=:例:设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且,则()(3,1,1)(1,0,3)(3,0,1)解:①偏导数存在不一定可微,A错②令法向量为(3,1,-1)③曲线可写成参数形式:,切向量为(1,0,3).::拉格朗日乘法求极值:函数在条件下极值的求法:令由,求解的驻点就可能是极值点,三元函数同理。例:设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数,(),,:假设在D上存在极值点,则,由题意得,,在D上无极值最值只能在边界上取,:,则重积分、必存在。:①若②③,其中m、M分别是在D上的最小值、最大值,为D的面积。:设,计算解:将D分为三部分:,,,二重积分的计算:,化成先x后y或先y后x的二次积分计算(基本内容,必须掌握),解题步骤是:①画出积分区域D的图形②选择合适的积分次序,确定积分上下限③(重要):根据已定好的积分上下限,画出相应的积分区域,然后根据已画出的积分区域重新定限。(重点)将二重积分化为二次积分时,如遇以下形式的积分等,则一定要将其放在后面积分。例:计算二重积分,其中D是所围成的闭区域。解:关于x的区域D:(更换积分次序)-极互换(基本内容,必须掌握)一、积分区域D的边界是极坐标给出的,或D是以O为中心的圆、圆环或扇形,或中心在坐标轴上经过O点的圆;二、被积函数为、、或x,y的次数不高的多项式,