文档介绍：求圆的标准方程的方法江西省吉安县立中学刘筱岗圆是一种最完美的图形,生活中处处可见,它的应用非常广泛。那么,如何求圆的标准方程呢,下面介绍几种常见的方法。几何性质法就是运用圆的有关性质,求出圆的圆心和半径,再代入圆的标准方程,从而求得圆的标准方程。例1已知A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程。分析:圆心为AB的中点,半径为AB的一半。解:由中点坐标公式,可求得圆心为C(1,-3),由两点的距离公式,可求得半径为r=,所以所求圆的标准方程为。例2圆关于直线x+y=0对称的圆的方程是()。。分析:若两个圆关于直线x+y=0对称,则两圆的圆心也关于直线x+y=0对称,并且两圆的半径相等。解:圆的圆心为(3,-4),它关于直线x+y=0的对称点为(4,-3),所以所求圆的方程为。:(1)点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).(2)由于圆上的任意一点(x,y)关于直线x+y=0对称的点为(-y,-x),所以只要将圆中的x换成-y,y换成-x,即得圆关于直线x+y=0对称的圆的方程。这种方法也适用于求其它曲线关于直线x+y=0对称的曲线的方程。例3求过点A(4,0)的直线与圆相交所得弦的中点的轨迹方程。解析:如图一设弦的中点为M,则由垂径定理可知,,所以M的轨迹是以OA为直径的圆。所以圆心为OA的中点(2,0),半径为2,所以所求弦的中点的轨迹方程为。OAMxy图一例4求经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程。分析:由圆的性质可知,圆心在弦的垂直平分线上,所以可求出OP的垂直平分线,再求出它与直线2x+3y+1=0的交点,即为圆心坐标。解:所求圆的圆心在OP的垂直平分线上,OP的垂直平分线方程式为:,即x+y-1=0。解方程组,得圆心C的坐标为(4,-3)。∴圆的半径,∴所求圆的方程为。点拨:本题是运用垂直平分线的性质,列式求OP的垂直平分线方程。求垂直平分线的方程m,也可先求出线段OP的中点,再运用m与OP的斜率乘积等于-1,求出m的斜率为-1,然后用点斜式写出垂直平分线m的方程,即x+y-1=0。直译法当动点满足的几何等量关系式已知或容易求得时,只要将这个几何等量关系翻译成含x,y的代数等式,然后化简,就可求得动点的轨迹方程。例5已知两点A(0,1),B(1,0),且,求点M的轨迹。分析:设出点M的坐标(x,y),利用两点间的距离公式,将具体化,转化为含有x,y的方程。解:设点M的坐标为(x,y),由两点间的距离公式得:,,又,,两边平方,并整理得:,配方,得:。这就是点M的轨迹方程,它表示以为圆心,以为半径的圆。点拨:求动点的轨迹,必需先求出动点的轨迹方程,然后根据轨迹方程的特征,确定动点的轨迹是什么曲线。PM图二-22xyNOO1O2例6(05年江苏省高考题)如图二,圆与圆的半径都是1,,过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=。试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程。分析:根据切线的性质,有,再由勾股定理,可得,,代入PM=,就可求得动点P的轨迹方程。解:如图二,以直线为x轴,线段的的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则两圆心分别为,。设P(x,y),则,=,=.∵PM=,∴。∴=2[],∴,即。这就是动点P的轨迹方程。待