文档介绍：《线性代数学****提纲及知识点》行列式本章学****提纲:一、二阶、三阶行列式的计算及n阶行列式的计算公式。二、行列式的性质及应用三、克莱姆法则。本章重点:三阶行列式的计算。本章难点:应用行列式的性质计算行列式知识点:一、1、二阶行列式用记号表示代数和,称为二阶行列式。即=例1计算二阶行列式例2计算二阶行列式三阶行列式计算公式如下=例3计算三阶行列式例4、计算三阶行列式n阶行列式的定义:用个元素组成的记号称为n阶行列式,其中横排成为行,纵排称为列。称为第i行第j列的元素,n阶行列式表示所有可能取自不同的行,不同的列的n个元素乘积的代数和。一般项可以表示为行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式。记为即性质1、将行列式转置,行列式的值不变。性质2、交换行列式的两行(列),行列式的值变号。推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式的值为零。性质3、用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此行列式。推论1、如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式外面。推论2、如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零。性质4、如果将行列式中的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变。克莱姆法则(以三元方程组为例)设三元线性方程组当D0时,其解为其中若方程组中的常数均为零时,方程组称为齐次线性方程组。当齐次线性方程组的系数行列式不等于零时,方程组仅有唯一的零解。例1、用克莱姆法则解方程组解:,,所以,例2、用克莱姆法则解方程组解:计算行列式例3、解线性方程组解:计算行列式所以,,,矩阵本章学****提纲:矩阵的概念及运算、几种特殊矩阵、逆矩阵。矩阵的初等变换及矩阵的秩。本章重点:矩阵的概念及矩阵的初等变换。本章难点:逆矩阵的求法。知识点:矩阵的定义:按一定次序排成的一个m行n列的矩形表,称为一个m行n列的矩阵,简称矩阵,记作其中称为矩阵第i行j列的元素。一般用大写黑体字母A、B、C表示矩阵。用表示m行n列矩阵。当m=n时矩阵称为n阶方阵。n阶矩阵A的元素按原来的排列顺序构成的n阶行列式,称为矩阵A的行列式。记作:所有元素均为零的矩阵称为零矩阵。记作O注意:1、行列式与矩阵的区别:矩阵是个表,行数与列数可以不同。行列式是个数,行数与列数相同。2、只有方阵有行列式。矩阵的运算设矩阵为两个不同的矩阵,k、s为实数矩阵的加减法数k乘矩阵A运算性质:设A、B、C、O都是矩阵,k、s为实数,则A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=AA+(-A)=Ok(A+B)=kA+kB(k+s)A=kA+sA(ks)A=k(sA)1A=A矩阵的乘法设矩阵的列数与矩阵的行数相同,则由元素构成的m行n列矩阵称为矩阵A与矩阵B的积,:两个矩阵相乘必须具备下列条件矩阵A的列数等于矩阵B的行数乘积矩阵C的行数等于A的行数,列数等于矩阵B的列数。乘积矩阵C中等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和。矩阵乘法的性质:(AB)C=A(BC)(A+B)C=AC+BCC(A+B)=CA+CBK(AB)=(kA)B=A(kB)例1已知求3A-2B例2、若,,求AB例3、解: 例4、计算解:此例说明:行矩阵乘以列矩阵,乘积仍是矩阵,是一行一列的矩阵。例5计算矩阵的转置将矩阵A的行与列互换,得到的矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为。转置矩阵的性质:方阵的幂对于方阵A及自然数k称为方阵A的k次幂。方阵的幂性质:方阵的行列式设A、B为n阶方阵,则例4、计算,…例5、计算解:例6,计算解:例7、设A为三阶矩阵,且例6、设A为n阶矩阵,已知,求几种特殊矩阵单位矩阵:n阶方阵A中的元素,其它元素全为零,称矩阵A为单位矩阵。记作或三角形矩阵上三角形矩阵,下三角形矩阵逆矩阵定义1:对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B,使得AB=BA=I,I是单位矩阵。那么矩阵A称为可逆矩阵。简称A可逆,并称B为A的逆矩阵。记作:注:如果A可逆,则A的逆矩阵是唯一的。定义2若n阶矩阵A的行列式,则称A为非奇异的。定义3由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。定理:n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异,且当A可逆时,有其中是A的伴随矩阵。注:定理给出了求逆矩阵的一个方法。逆矩阵的性质:若逆矩阵A可逆,则也可逆,且。若逆矩阵A可逆,数,则kA也可逆,且。两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆的,且。若逆矩阵A可逆,则A的转置矩阵也可逆,且。若逆矩阵A可逆,则。例1判断矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵。解:因,所以A可逆。再求伴随矩阵