文档介绍：各地中考数学压轴题汇总(一)
17.(2005浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D
点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.
(1)求点C的坐标;
(2)连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得
AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由;
(3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.
[解] (1) C(5,-4);
(2)能。连结AE ,∵BE是⊙O的直径, ∴∠BAE=90°.
在△ABE与△PBA中,AB2=BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA .
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .
(3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:
①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;
②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;
③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
解题过程:
①当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12=BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合题意;
②当Q2点在线段EB上, ∵△ABE中,∠BAE=90°
∴点Q2为AQ2在BE上的垂足,
∴AQ2== (或).
∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+=,
又由AQ2·∠BAQ2=,
∴点Q2(,-),
③方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,
则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,
故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t,
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得,
即得t=,
〖注:此处也可由列得方程; 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3点的横坐标为8+3t=, Q3点的纵坐标为,
即Q3(,).
方法二:如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4),
∴直线BE的解析式是.
设Q3(,),过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,
∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴, 即,
∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为,∴Q3(,).
方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA,,
在R t△OAF中有OF=2×=,点F的坐标为(0,),
∴可得直线AF的解析式为,
又直线BE的解析式是,
∴可得交点Q3(,).
18.(2005上海长宁)如图1,抛物线关于y轴对称,顶点C坐标为(0,h )(h>0), 交x轴于点A(d,0)、B(-d,0)(d>0)。
(1)求抛物线解析式(用h、d表示);
(2)如图2,将ABC视为抛物线形拱桥,①~⑤拉杆均垂直x轴,垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。
(i )求拉杆⑤DE的长度;
F
G
x
y
C
B
O
A
图4
(ii)若d值增大,其他都不变,如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗?(只需写结论)
(3)如图4,点G在线段OA上,OG=kd(比例系数k是常数,0≤k≤1),GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时,
tg∠FOG= tg∠CAO?此时点G与OA线段有什么关系?
[解] (1)用顶点式,据题意设y=ax2+h
代入A(d,0)得a=
∴y=x2+h
(2)(i)h=9,代入(1)中解析式得y=x2+9
据题意OE=d,设D(d,yD)
点D在抛物线上,yD=(d)2+9=5,∴DE=5米。
(ii) 拉杆⑤DE的长度不变。
(3)OG=kd,∴点F坐标可设(kd,yF)代入y=x2+h ,得:
yF= h(1-k2)
tg∠FOG= tg∠CAO , =
解得(∵0<k<1,舍)
,此时点G是线段OA的黄金分割点。
19.(2006上海金山)已知:抛物线经过A(2,0)、B(8,0)、C(0,)
C
O
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,把△APB翻折,使点P落在线段AB上(不与A、B重合),记作,折痕为EF,设A= x,PE = y,求y