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教学参考
平面向量的几何意义的应用
江苏省兴化中学徐勇
平面向量作为一种基本工具,在平面几何问;一一
题的求解中有极其重要的地位与作用,而教材中一÷商一÷,
对于平面向量给出了几何表示和坐标表示两种形
商一一可一
式,相比较而言,学生对于向量的坐标表示更容易
接受和理解,但对向量的几何表示包括几何运算商一号一一÷曲.
往往感到比较困难,然而从平面向量的几何意义
又一商葫一一曲一
来看,其中又有很多独特之处,如能合理地运用向
量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则
以及向量平行与垂直的充要条件,结合平面向量一一专一.
的基本定理等这些几何意义,那么在解决平面几由平面向量基本定理可得
一
何问题时往往也能起到避繁就简的效果. , ,
向量问题的转化一丢一解得
.
例在的边,上分别取点、
一一一
,使一百
, 一÷亩,设线段与
‘士
交于点,设;一,亩,试用,表示斋
.
解析:如图,设
■、而≥即可:
一一
√:。⑥
一。, ,
、、『二≥
—, —.
/。。⑦
为了讨论方便,如果依
现在,我们若把不等式前面的两个根号内的
根号中的交叉项的符号把
值变大,又有三个不等式:
前面三组分别记为
. 、一,一,一不等式①②③;
③一,一,≥,不等式⑤⑥⑦;
,,不等式③⑨⑩;
、侣干
那么,是否仍有一,,、,,一、,
/。。⑨
一, ~ 三组共个不等式成立呢
、
请读者自行证明并进一步推广此问题,相信
/。。⑩
可以得出更丰富的结论.
、以不等式③为例,我们只要作出相应的图
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感悟:在运用向量的加法、减法饵决几何问腰. : ∥,且亩一
题时,需要寻找或构造三角形或平行四边形,而本十葡.
题中的,是作为平面的一组基底且涉及的向量
证明:连、,
都转化为这组基底表示,其本质是运用平面向量
因为//,可设一赢,
的基本定理.
又、是中点,所以亩一.
且一蔚十,
而蔚一十亩一
十一百,
所以一, 与无公共点,
图图
所以//,又,
线段相等的证明所以亩一十一
例试证过三角形一边的中点且平行于第
十.
二边的平行线必平分第三边. 厶
已知: 为△的边的中点,过作感悟:由实数与向量的积的定义,向量与非
//,交于如图. 零向量共线的充要条件是一∈.这是
求证: —. 用向量的方法证明线线平行的主要依据.
证明:设一, : ,
则一—,由于与共线.
所以存在实数,使柚①
又//,
所以存在实数,使得蔚一—.
在△中,有
图图
一一
—一比例问题的求解’
一十. ②
例如图,在中,点和分别在
比较①②,有专一一。’
【:, 和上,且亩一,魂一号,和
交于点,求、面‘的值
所以一.
.
从而为的中点,故有蔚. 解析:设萄,窟一商,∈,
感悟:要证线段、的长相等,一般有两: 商十蔚⋯:
种途径:若、共线,只须证、为相等
一一十百,
向量或相反向量;
若、不共线,可考虑