文档介绍：本科毕业论文
关于均值不等式的探讨
DISCUSSION ON INEQUALITY
学院(部): 理学院
专业班级: 数学与应用数学07-1
学生姓名:
指导教师:
2011年 6 月 8 日
关于均值不等式的探讨
摘要
均值不等式是高二教材的一个教学内容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。
关键词均值不等式,最值,应用
DISCUSSION ON INEQUALITY
ABSTRACT
Inequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of e related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.
KEYWORDS:inequality ,the most value,the value of application
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目录
关于均值不等式的探讨 I
DISCUSSION ON INEQUALITY II
1、浅谈均值不等式及类型 1
浅谈均值不等式 1
均值不等式是攻破最值问题的有力武器 1
均值不等式用于不等式的证明 2
均值不等式的拓展及其相关结论 2
均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入 4
试谈运用均值不等式的待定系数法“套路” 5
运用均值不等式解题的变形技巧 8
利用均值不等式求最值的技巧 10
“失效”时的对策 15
均值不等式应用错例分析 15
“均值不等式”求最值忽视条件致错举例 17
“失效”时的对策 19
24
24
29
33
37
40
参考文献 42
谢辞 43
1、浅谈均值不等式及类型
浅谈均值不等式
人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a、b是正数,那么≥ ab,当且仅当a = b时取“= ”号。即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这个不等式,我们通常把它称为均值不等式。对均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其运用条件,便能在解题中快速找到突破口,进而找到正确解决问题的方法。
均值不等式是攻破最值问题的有力武器
对均值不等式认真观察分析知道,若两个正数的积为常数,当且仅当它们相等时,它们的和有最小值;若两个正数的和为常数,当且仅当它们相等时,它们的积有最大值。最值问题在此便略有体现。经研究后,归纳出3个用均值不等式求最值问题的适用条件。条件一:在所求最值的代数式中,各变数都是正数,否则变号转换;条件二:各变数的和或积要为常数,以确保不等式的一端为定值,否则执行拆项或添项变形;条件三:各变数必须有相等的可能。一个题目同时满足上述三个条件,或者可以变形成适合以上条件的,便可用均值不等式求,这就帮助学生在解题时迅速找到了突破口,从而找到正确方法,快速简易地求最值。下面举出一些实例。
例1:代数式的最小值是_————
解: ==1=3
故的最小值是3。
例2:若0 < x < 2,则函数f ( x) = 的最大值是————.
解: f ( x) = ≤=4,故f ( x)的最大值是4
例3:求函数y =的值域
解: ,故函数的值域为[ 4, + ∞) 。
例4:已知a > 0, b > 0, a + b = 1,求代数式的最小值
解:
故满足条件的代数式的最小值是9。
例5:过点P (2, 1)作直线L交X , Y轴正向于A, B 两点, 求L的方程,使三角形AOB 的面积最小。
解:设直线L的方程为y - 1 = k ( x - 2) , L 与x轴交点为( a, 0) , L 与y轴交点为(0, b) ,其中a > 0, b > 0, k < ,, b = 1 - 2k 于是
当且仅当= -