文档介绍：。ΔΔ21WW21PK上图所示系统等价于下图所示系统:Δ(s)Δ010Δ2W2W1PKMs()Δ(s)M(s)《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生其中的模型摄动Δ()s具有对角块结构。有结构摄动Δ()s=ΔΔ=∈∈diagδδI,I,"",δI;ΔΔΔδ,,,CC,Δmmjj×{12rr12srs12Fij}sF∑∑rmnij+=ij==11称Δ为结构集合。令BΔΔ=∈{ΔΔ,σΔ()≤1}BDΔΔ=∈{}ΔΔ,σΔ()<()s和M()s均是稳定的,则当σ(Δ)充Δ(s)分小时,闭环系统是稳定的。若存在s∈C+,使得Msdet⎡⎤IMs−=Δs0()⎣⎦()()则闭环系统不稳定。显然,当ΔM<1∞∞时,即1M<∞Δ∞时,闭环系统是稳定的。由定义M:sup==σMssupσωMj∞()()(())s∈C+ω∈R对于给定的s∈C+,σ()M()s可写成1σ()Ms()=min{}σΔ()det()IMs−=()Δ0,Δ为无结构的即M的最大奇异值的倒数是导致闭环系统不稳定的(最大奇异值)最小无结构Δ的一个度量。当考虑Δ的结构时,即对于Δ(s)∈Δ,定义《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生1μΔ()Ms()=min{}σΔ()det()IMs−=∈()Δ0,ΔΔ为有结构的称之为M关于有结构复值不确定性Δ的的最大的结构奇异值。如果不存在Δ()s∈Δ,使得det(IMs−()Δ)=0,则令μΔ(Ms())=0。●由定义可证μΔ()MM=maxρΔ()Δ∈BΔ其中ρ()A表示A的谱半径。●当Δ=∈{δδI,nC}时,则μρΔ()M=(MM)=的谱半径。●nn×当Δ=∈{ΔC}(即无结构)时,则μσΔ(M)=(M)。nn×因为{δδI,n∈⊂⊂C}ΔC,所以,对于一般情形,ρμ()M≤≤Δ()MMσ()上述对于结构奇异值的界是保守的:假设⎡δ10⎤Δ=⎢⎥⎣0δ2⎦⎡⎤0β当M=⎢⎥时,ρ()MM,M==0μσ()()=β。⎣⎦00⎡⎤11−⎢⎥22当M=⎢⎥时,ρμσ()M,MM===01()()。11⎢⎥−⎣⎦⎢⎥22δ−δ(注意:det()IM−=+Δ112)2为了减小此保守性,考虑对M作变换,其不影响μ(M)的值,但会改变ρ()M和σ()M的值。n×中的两个集合:∗U=∈{UUUIΔ=n}⎧⎫diag⎡⎤D,"",D,dI,,dI,I⎪⎪⎣⎦11sm11Fmm−1FF−D=⎨⎬rrii×∗⎩⎭⎪⎪DC,DDiiijj∈=>∈>00,d,dR易知,对于Δ∈Δ,U∈U,D∈D,成立《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生U,U,U∗∈UΔΔ∈∈ΔΔσ()UU∗ΔσΔ==()σΔ()DDΔΔ=●对于任意U∈U和任意D∈D,成立−1μμμμΔΔΔΔ()MMMUU===()()(DDM)证明:det()I-MΔΔ=det(I-MDD−1)==det()()I-MI-MDD−−11ΔΔdetDDdet()I-MΔΔ=det(I-MUU∗)=det()I-()MUU()∗Δ因此关于μΔ(M)的界可收紧为−1maxρμ()UM≤≤Δ()MinfσDMDU∈UD∈D()●下界为等式,即μρΔ()M=max(UM)U∈U●当23SF+≤时,上界为等式,即−1μσΔ()M=infDMDD∈D()−1对于一般情形,μΔ()M不等于infσDMD,但对于多数情形,μΔ()M与D∈D()infσDMD−1近似等于。D∈D()●计算infσDMD−1是一凸优化问题,但求maxρ(UM)不是凸优化问题。D∈D()U∈,将其分块为⎡⎤MM1112M=⎢⎥⎣⎦MM2122定义维数分别与M11和M22相匹配的结构集合Δ1和Δ2,并定义结构集合:⎪⎪⎧⎫⎡⎤Δ10ΔΔΔ=∈∈⎨⎬ΔΔ1122,⎢⎥0Δ⎩⎭⎪⎪⎣⎦2《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生Δ(s)1Δs()M(s)M()sΔ2(s)●当IM−22Δ2非(恒)奇异,即可逆时,线性分式变换(LFT)FM,l()Δ2有定义(为适定的)。−1(注意FM,l()ΔΔΔ21112222221=−MM(I−M)M)●定理:(1)对于任意Δ2∈BΔ2,FM,l()Δ2为适定的iffμM<1Δ2()22D(2)对于任意Δ2∈BΔ2,FM,l()Δ2为适定的iffμM≤1Δ2()22证:如果μρΔMM=<max1,则显然,对于任意Δ∈BΔ,IM−ΔΔ2()22(222)22222Δ22∈BΔ非奇异。如果maxρΔ(M222)≥1,则存在Δa∈BΔ2,λ和ξ,成立M22Δξa=λξ,其Δ22∈BΔ中λ≥1。令ΔΔλba=/,则Δb∈BΔ2,且M22Δbξξ=,因此