文档介绍：第四章根轨迹分析法一、主要内容(1)根轨迹法的基本概念(2)绘制180o根轨迹的基本法则(3)绘制0o根轨迹的基本法则(4)参变量系统的根轨迹(5)非最小相位系统的根轨迹(6)控制系统的根轨迹分析二、基本要求(1)理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。(2)掌握180o根轨迹的绘制方法,理解和熟记根轨迹的绘制法则,会用幅值方程求对应的(或)值。(3)了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系,掌握系统根轨迹分析的基本思路。(4)掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。三、内容提要1、根轨迹法的基本概念(1)根轨迹:当系统开环传递函数中某参数(如根轨迹增益)在某一范围内(如)连续变化时,闭环特征根在S平面上移动的轨迹,称为根轨迹。(2)根轨迹方程幅值方程:相角方程:。相角方程是根轨迹的充分必要条件,而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1:根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点(包括重极点),m条根轨迹终止于开环零点,条根轨迹分支终止于无穷远处。法则2:根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性,且对称于实轴。法则3:根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于,即系统的阶数。法则4:根轨迹的渐近线有条渐近线,渐近线与实轴正方向的夹角为:,渐近线与实轴的交点为:法则5:实轴上根轨迹的分布实轴上某区域,若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹。法则6:根轨迹的分离(会合)点根轨迹的分离(会合)点实质上闭环特征方程的重根,因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。设系统闭环特征方程为:满足以下任何一个方程,且保证为正实数的解,即是根轨迹的分离(会合)点。法则7:根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点,实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。方法1:在闭环特征方程中,令,得到,将分为实部和虚部,即于是有,求解得到值,即为根轨迹与虚轴的交点坐标频率。方法2:由劳斯稳定判据,令劳斯表中出现全零行,但第一列元素符号保持不变,此时系统处于临界稳定状态,并可求得根轨迹与虚轴的交点。法则8:根轨迹的出射角和入射角当开环零点和开环极点处于复平面时,根轨迹离开开环极点处的切线与正实轴的方向夹角,称为根轨迹的出射角(出发角)。同样,根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴的方向夹角,称为根轨迹的入射角(终止角)。复数极点的出射角用公式表示为由与的共轭性,同理可得,复数零点的入射角用公式表示为由与的共轭性,。3、绘制0o根轨迹的基本法则根轨迹作图法则与根轨迹作图法则所不同的是,要修改与相角条件有关的规则,具体有:(1)根轨迹的渐近线渐近线的交点坐标不变,与正实轴的夹角改为,(2)实轴上的根轨迹分布实轴上某区域,若其右边的开环零点和开环极点个数之和为偶数(包括0),则该区域必是根轨迹。(3)根轨迹的出射角和入射角出射角:入射角:4、参变量系统的根轨迹参量根轨迹的处理方法是,将原来的开环传递函数经过数学变换成以参变量作为“根轨迹增益”的等效开环传递函数形式,然后依上述的作图规则绘制根轨迹图。5、根轨迹分析法(1)闭环零点、极点和开环根轨迹增益的确定①闭环零点闭环传递函数零点实际上是前向通道的零点和反馈通道的极点组成,当为单位反馈时,闭环零点就是开环零点。②闭环极点 对于比较简单的系统可先使用幅值方程进行试探确定部分闭环实数极点,然后用综合长除法求其余的闭环极点,或采用闭环极点的和与积的性质来确定其余的闭环极点。③根轨迹增益若已知系统的闭环零点和闭环极点,则可利用幅值方程来确定对应的根轨迹增益。求闭环根轨迹上某一点对应的根轨迹增益,则由幅值方程得到:(2)闭环零点、极点分布对系统性能的影响①稳定性:要求闭环系统稳定,其根轨迹必须全部位于S左半平面。如果系统存在三条或三条以上的渐近线,则必有一个值,使系统处于临界稳定状态。②运动形态:当闭卷极点全部位于负实轴时,响应呈单调上升状态。当闭环极点出现复数时,响应呈衰减振荡形式。③平稳性:阻尼角越大,阻尼比小,系统的振荡频率越高,振荡越剧烈。要使系统的暂态响应平稳,同时又有比较好的快速性,系统的阻尼比不能太大,也不能太小,理论上讲,阻尼比时,系统的总体性能最好。④快速性,要使系统具有较好的快速性,除闭环主导极点以外,其余闭环极点应该远离虚轴,使其暂态响应分量衰减加快,系统调节时间减小,从而提高系统的响应速度。(3)开环零、极点分布对系统性能的影响①增加开环零点对根轨迹的影响★加入开环零点,改变渐近线的条数和渐近线的倾角;★增加开环零点,相当于增加微分作用,使根轨迹向左移动或弯曲,从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加,过渡过程时间缩短;★增加的开环零点越接近坐标原点,微分作用越强,系统的相对稳定性越好。②增