文档介绍：广东水利电力职业技术学院数学教学部张静华Tel:38490981Email:zhangjh@工程数学常微分方程第一节微分方程的基本概念第三节可降阶的高阶微分方程第二节一阶微分方程第四节二阶常系数线性微分方程⒈可分离变量的一阶微分方程⒉齐次方程⒊一阶线性微分方程⒈二阶常系数线性微分方程解的结构⒉二阶常系数线性微分方程的解法目录第一节微分方程的基本概念⒈微分方程如未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程;当未知函⒈微分方程凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。数是多元函数时,微分方程中必出现未知函数的偏导数,因而称为偏微分方程。例如,梁的横振动(b2为常数)就是一个重要的偏微分方程。本书只讨论常微分方程及其解法。微分方程中未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。⒉微分方程的阶例如,是二阶微分方程。练****试说出下列微分方程的阶数⑴⑵⑹⑶⑷⑸⑺如果将某个函数代入微分方程,能使该方程成为恒等式,则求微分方程解的过程称为解微分方程。⒊微分方程的解称这个函数为该微分方程的解。例如,微分方程函数是它的解。函数(C为常数)也是它的解。又如,微分方程函数是它的解。函数(C1、C2为常数)也是它的解。,容易验证:,容易验证:由此可知,微分方程的解有两种:⑴微分方程的通解数,这样的解称为微分方程的通解。含有任意常数,且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶注:含有几个任意常数的函数式,如果它们不能通过运算合并而使得任意常数的个数减少,则称这函数式中的几个任意常数相互独的。例如,函数中的两个常数C1、C2是相互独立的,中的C1、C2可以合并成一个常数C,故不是独立的。⑵微分方程的特解不含任意常数的解称为微分方程的特解。而微分方程的通解与特解例1例1:函数(其中C是任意常数)对微分方程而言()A、是通解B、是特解C、是解,既非通解也非特解D、不是解答案:C例2例2:设是微分方程的一个解,若,且,则函数f(x)在点处()A、取得极大值B、取得极小值C、某个邻域单增D、某个邻域单减答案:A解析:由知是驻点,且,又因,故,所以函数f(x)在处取得极大值。用来确定特解的条件称为初始条件。例1验证解:是该微分,且微分方⒋初始条件的通解。程,⒈可分离变量的一阶微分方程一般形式:解法:⑴分离变量⑵:解:将方程分离变量,得得方程的通解