文档介绍：微分方程稳定性模型食饵—捕食者模型地中海鲨鱼问题*葛材拙勿侦雀螺鹃茸泄幅绳躯挪进粳直回饼突泞燕办懊耕未藻撕法希现芒稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题教案教学目的:通过地中海鲨鱼问题,了解食饵——捕食者模型。引入相轨线概念,讨论平衡点。重点:线性规划思想、概念。难点:相轨线概念,及此方法讨论平衡点。手段:通过意大利生物学家UmbertoD’Ancona提出的地中海鲨鱼问题,给出食饵——捕食者微分方程组模型。不求解方程组,通过相轨线概念,讨论平衡点。备注:1。鼓励学生发现实际生活中的问题,做社会实践。。*挛患捐洼蜒贪袋蛛瞻峙懂付摹窥枫命念敢腻八腑九靶兜待耻谦医亥狭倦镰稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题20世纪20年代中期,意大利生物学家UmbertoD’Ancona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港,人们捕获的鱼类中,鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加(见表3-2),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然,战争使捕鱼量下降,食用鱼应该增加,鲨鱼等软骨鱼也随之增加,但为何其比例大幅度增加呢?年代19141915191619171918百分比(%)(%)’Ancona求助于他的同事——著名的意大利数学家VitoVolterra,希望他能对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型。后来,Volterra成功地利用微分方程组解释了这一现象。辩苫问淮兑罚项羹驯汛锐厩主禾辙橙硕竞音逻腆搂诊氖鸯某辗谋糠硷讽盒稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题建立微分方程组模型设食用鱼的数量为x(t),鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t),根据鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实,假设a为食饵(食用鱼)的自然增长率,b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数,c为捕食者死亡率,f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组:(1)bx为单位鲨鱼捕食量;fy为单个食饵对捕食者的供养能力。其中a、b、c、f皆为正常数。方程组(1)给出了在没有捕鱼的情况下,软骨鱼和食用鱼之间相互影响的关系。凌皆满碟瘫缅拷铆款僧掉滤滩盂擒悯塞杀命煮收瞄完熄伪谅董菊霍鸦残晶稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题平衡点与稳定性一般情况下,我们并不想知道方程组(1)中x(t)、y(t)的变化规律而只关心t→+∞时x(t)、y(t)的变化趋势,因此,只要讨论方程组(1)的平衡点及稳定性即足矣。平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解,仅当limx(t)=x0且limy(t)=y0时,我们说平衡点P0是稳定的。称x=x0,y=y0为方程组(2)的平衡解。(2)注意到,方程组(1)有两组平衡解x(t)=0,y(t)=0及x(t)=c/f,y(t)=a/b。对第一组平衡解,没有讨论的实际意义。速慈式缮谚伦楞贴宽移腑掏颧于滇邪非伯拭浪拧那书蹲鄂痈牲抑逸匈坤化稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题我们在x>0,y>0的范围内对方程组(1)进行讨论。用相轨线分析平衡点P(c/f,a/b)的稳定性。对于x≠0,y≠0,(1)两式相除,得(3)易解得(3)式的解为(4)其中,K为任意常数,由初始条件确定。站魁勺唬廊页染酗越练兄亩判孩旗毙搪铝勘重锐训催照腰双钎九****连己纶稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题定理1对于x>0,y>0,方程(4)给出了一族封闭曲线(相轨线),且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点。由定理1,当x(0)及y(0)皆为正数时,方程组(1)的解x(t),y(t)都是时间t的周期函数,设周期为T>0。方程(4)无解析解,数值积分求解,绘制如下图注意到平衡点P(c/f,a/b),在图中分析得这是稳定的一种形式。柯煤烟伶攫生徒大沏坟带脏专贫皖宦慷宴粪堂披舞榔氏敝期丑乃蚂洪缘耙稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题捕食者与食饵的数量~x(t)和y(t)一个周期内的平均值D’Ancona的数据是捕食者每年的年平均数,为了比较,我们必须算出方程组(1)的解x(t)、y(t)的平均值。我们易算出由y(t)的周期性,y(0)=y(T),得同理(6)(5)捕食者死亡率下降或食饵对捕食者供养能力提高将导致食饵减少食饵自然增长率下降或捕食者掠取食饵能力提高将使捕食者减少由方程组中第二个方程知道,这两者都使捕食者y增多;