文档介绍：微分方程稳定性模型
食饵—捕食者模型
地中海鲨鱼问题
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教案
教学目的:通过地中海鲨鱼问题,了解食饵——捕食者模型。引入相轨线概念,讨论平衡点。
重点:线性规划思想、概念。
难点:相轨线概念,及此方法讨论平衡点。
手段:通过意大利生物学家Umberto D’Ancona提出的地中海鲨鱼问题,给出食饵——捕食者微分方程组模型。不求解方程组,通过相轨线概念,讨论平衡点。
备注:1。鼓励学生发现实际生活中的问题,做社会实践。
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地中海鲨鱼问题
20世纪20年代中期,意大利生物学家Umberto D’Ancona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港,人们捕获的鱼类中,鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加(见表3-2),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然,战争使捕鱼量下降,食用鱼应该增加,鲨鱼等软骨鱼也随之增加,但为何其比例大幅度增加呢?
年代
1914
1915
1916
1917
1918
百分比(%)
年代
1919
1920
1921
1922
1923
百分比(%)
百思不得其解的D’Ancona求助于他的同事——著名的意大利数学家Vito Volterra,希望他能对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型。后来,Volterra成功地利用微分方程组解释了这一现象。
建立微分方程组模型
设食用鱼的数量为x(t),鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t),根据鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实,假设a为食饵(食用鱼)的自然增长率,b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数,c为捕食者死亡率,f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组:
(1)
bx为单位鲨鱼捕食量;fy为单个食饵对捕食者的供养能力。
其中a、b、c、f皆为正常数。方程组(1)给出了在没有捕鱼的情况下,软骨鱼和食用鱼之间相互影响的关系。
平衡点与稳定性
一般情况下,我们并不想知道方程组(1)中x(t)、y(t)的变化规律而只关心t→+∞时x(t)、y(t)的变化趋势,因此,只要讨论方程组(1)的平衡点及稳定性即足矣。
平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解,仅当limx(t)=x0 且limy(t)=y0 时,我们说平衡点P0是稳定的。称x=x0,y=y0为方程组(2)的平衡解。
(2)
注意到,方程组(1)有两组平衡解x(t)=0,y(t)=0及x(t)=c/f,y(t)=a/b。对第一组平衡解,没有讨论的实际意义。
我们在x>0,y>0的范围内对方程组(1)进行讨论。
用相轨线分析平衡点P(c/f,a/b)的稳定性。
对于x≠0,y≠0,(1)两式相除,得
(3)
易解得(3)式的解为
(4)
其中,K为任意常数,由初始条件确定。
定理1 对于x>0,y>0,方程(4)给出了一族封闭曲线(相轨线),且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点。
由定理1,当x(0)及y(0)皆为正数时,方程组(1)的解x(t),y(t)都是时间t的周期函数,设周期为T>0。
方程(4)无解析解,数值积分求解,绘制如下图
注意到平衡点P(c/f,a/b),在图中分析得
这是稳定的一种形式。
捕食者与食饵的数量~x(t)和y(t)一个周期内的平均值
D’Ancona的数据是捕食者每年的年平均数,为了比较,我们必须算出方程组(1)的解 x(t)、y(t)的平均值。我们易算出
由y(t) 的周期性,y(0)=y(T) ,得
同理
(6)
(5)
捕食者死亡率下降或食饵对捕食者供养能力提高将导致食饵减少
食饵自然增长率下降或捕食者掠取食饵能力提高将使捕食者减少
由方程组中第二个方程知道,这两者都使捕食者y增多;再看第一个方程,知y多将导致食饵x减少。
就是平衡点!
考虑捕鱼对方程组(1)的影响。假设捕鱼使食用鱼按ε*x(t) 的速度减少(ε>0为常数),鲨鱼等软骨鱼按ε*y(t)的速度减少。这样,方程组(1)将变为
(7)
(8)
请同学们仿照前页,求(7)式的平均解
与(5)(6)式比较,我们发现,适当地增加捕食量将使食用鱼的数量增加,而使鲨鱼等软骨鱼的数量减少。反之,我们易得出,降低捕鱼量,将使鲨鱼等软骨鱼的数量增加,而使食用鱼的数量减少。
其他类似问题的理解
利用上述Volterra原理还可解释某种杀虫剂的相反效果。1968年,介壳虫偶然从澳大利亚传入美国,威胁着美国的柠檬生产。随后,美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来,DDT被普通使用来消灭害虫,柠檬