文档介绍：2006年全国中考数学压轴题解析点评之(三)
11、(湖南郴州卷)已知抛物线经过及原点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)过点作平行于轴的直线交轴于点,在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上,任取一点,过点作直线平行于轴交轴于点,交直线于点,直线与直线及两坐标轴围成矩形(如图).是否存在点,使得与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
E
A
Q
B
P
C
O
y
x
(3)如果符合(2)中的点在轴的上方,连结,矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系?为什么?
[解] (1)由已知可得:
解之得,.
因而得,抛物线的解析式为:.
(2)存在.
设点的坐标为,则,要使,则有,即,解之得,.
当时,,即为点,所以得
要使,则有,即
解之得,,当时,即为点,
当时,,.
点的坐标为.
(3)在中,.
当点的坐标为时,.
所以.
因此,都是直角三角形.
又在中,.
即有.
所以,又因为
,所以.
[点评]本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题,解决第3题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明,难度应该不会很大。
12、(湖南湘潭卷)已知:如图,抛物线的图象与轴分别交于两点,与轴交于点,经过原点及点,点是劣弧上一动点(点与不重合).
(1)求抛物线的顶点的坐标;
(2)求的面积;
(3)连交于点,延长至,使,试探究当点运动到何处时,直线与相切,并请说明理由.
[解] (1)抛物线

的坐标为
(说明:用公式求点的坐标亦可).
(2)连;过
为的直径.
而

(3)当点运动到的中点时,直线与相切
理由:在中,
.
点是的中点
,
在中,
为等边三角形

又为直径,当为的中点时,为的切线
[点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究,因此数形结合的解题思想是不可缺少的,解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。
13、(湖南永州卷)如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的直径交小圆于两点,大圆的弦切小圆于点,过点作直线,垂足为,交大圆于两点.
(1)试判断线段与的大小关系,并说明理由.
(2)求证:.
(3)若是方程的两根(),求图中阴影部分图形的周长.
A
B
C
D
E
O
N
H
M
F
[解] (1)相等.
连结,则,故.
(2)由,得,
又由,得.
.
(3)解方程得:,,
,,
在中,,
,.
在中,,
,,
弧长,,
阴影部分周长.
[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识。
14、(湖南张家界卷)在平面直角坐标系内有两点,,所在直线为,
(1)求与的坐标
(2)连结,求证:
(3)求过,,三点且对称轴平行于轴的抛物线解析式
(4)在抛物线上是否存在一点(不与重合),使得,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.
[解] (1)以代入
得