构造异面直线所成角的几种方法.doc

文档介绍：构造异面直线所成角的几种方法
浙江周宇美
异面直线所成角的大小,是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角),,供参考.
一、抓异面直线上的已知点
过一条异面直线上的已知点,引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行),往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标.
例1(2005年全国高考福建卷)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A. B.
C. D.
解:连B1G,则A1E∥B1G,知∠B1G △B1GF中,由余弦定理,得
cosB1GF==0,
故∠B1G F=90°,应选(D).
评注:本题是过异面直线FG上的一点G,作B1G,则A1E∥B1G,知∠B1G F就是所求的角,从而纳入三角形中解决.
二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点
考察异面直线上的已知点不凑效时,抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.
例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________.
解:取AE中点G, 连结GM、BG
∵GM∥ED,BN∥ED,GM=ED,BN=ED.
∴ GM∥BN,且GM=BN.
∴BNMG为平行四边形,∴MN//BG
∵A的射影为B.
∴AB⊥面BCDE.
∴∠BEA=∠BAE=45°,
又∵G为中点,∴BG⊥AE.
即MN⊥AE.
∴MN与AE所成角的大小等于90度.
故填90°.
三、平移(或构造)几何体
有些问题中,整体构造或平移几何体,能简化解题过程.
例3(2005年全面,且,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____.
解:将此多面体补成正方体,与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小,在Rt△PDB中,.
点评:本题是将三棱柱补成正方体,从而将问题简化.