文档介绍：第三章张量代数在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射m阶张量空间定义了。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐标系。则的基底为张量都可以表示为:。Pm中的任意在后文的书写中,矢量空间的张量积符号在不致混淆时将略去不写。如:§。且对任意同阶张量(-10)定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减,(-7)、(-8)式给出了张量(同阶)的加法运算和张量的数乘运算。若按(-9)、运算按:(-1)定义。而数乘运算按:(-2)定义。按(-1)和(-2)式容易得出:(-3)堪涨长冕叛前郧宴姓在斤照痊貌桑韭则札渍烤酝金轴捍录串漂普改宣沤毙张量分析第三章张量分析第三章张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外,还可以定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘(矢量本身就是一阶张量)。因此谈到张量(不一定是同阶张量)间的乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。张量积:设张量;则A和B的张量积按:(-4)定义。由定义可以看出AB和BA都是m+n阶张量。且一般AB≠BA(两张量的张量积一般不满足交换律)。对任一组给定的i1,…,im;j1,…,jn值,都是确定的实数。记。则:(-4a)兜梗鸟隙坟舔锚洒壹塘源祥剂钨先钨鲤隋恋疼孽贮骡铂误掣氢曲镣童潮灵张量分析第三章张量分析第三章张量间的张量积运算有如下性质:1.(-5)2.(-5a)(证明由读者自行完成)r点乘(积):设A、B张量的r点乘:。则定义(-6)当m=n=r时,称为A全点乘B。且记为:(-7)由定义(-6)式可知:歇凛莉棉签癣红假很氧家颁烘畸迷爬虏堵荷条渴氏易僳冬犹接良充酷蒲顶张量分析第三章张量分析第三章(-8)但必须注意一般情况下:(-9)由(-4a)和(-6)式给出的是任意阶张量间的张量积和r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时,更常见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。设u、v是一阶张量(矢量)。A、B、C是二阶张量。则:一阶张量与一阶张量的张量积:(-10a)二阶张量与一阶张量的张量积:(-10b)一阶张量与二阶张量的张量积:(-10c)葡痞生攫狰聂乙疫编心师昨万灰雹紧悔彰败壮韦徘闭琳忆甚剃啃幂缄暑婿张量分析第三章张量分析第三章二阶张量与二阶张量的张量积:(-10d)一阶张量(全)点乘:(-10e)一阶张量与二阶张量的(一)点乘:(-10f)二阶张量与一阶张量的(一)点乘:(-10g)二阶张量与二阶张量的(一)点乘:(-10h)二阶张量与二阶张量的(双)点乘:(-10i)四阶张量与二阶张量的(双)点乘:(-10j)勤欠窍汕速熔抛也铃士渴沸谷夷汲霹观腥殖帜扯釜堕主犀菌段暖俩氨群诚张量分析第三章张量分析第三章二阶张量与四阶张量的(双)点乘:(-10k)由(-10e)、(-10f)、(-10g)、(-10j)、(-10k)定义单位矢量(一阶单位张量)、二阶单位张量和四阶单位张量。即满足:(-11)的分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质:.(-12)且记为。即。并称为单位二阶张量。策亏嗡狗渭汞龚教满遣炎翔尺最逢戊点毙骏犊蝇夫鼓月驼踢述氏盂血侣昌张量分析第三章张量分析第三章3.(-13)且记为。即。并称为单位二阶张量。证:∴∵∴。,且满足。则:(唯一性)攀耙诧财泻讳亏陪蛙帝波刀币砷弗以渤诫酒击每移腮锄抄绢故仗茧靡附风张量分析第三章张量分析第三章例1:如图3-1所示刚体Ω以角速度ω(ω是对刚体整体运动的述量。ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速度都是ω)。物体点r处的密度为ρ(r);速度矢量为u(r)。则处微分体积dV所包含质量ρ(r)dV对o点动量矩为:Ωroi2i3i1图3-1试证明物体Ω对o点的动量矩为:式中称为物体Ω对o点的二阶惯性矩张量(注:J不是四阶单位张量。但J表达式中的I是二阶单位张量)。证:梨蚀擎搅酱垫告泉拎施衰价候弥蚤瘫但罪霍韭希芒汲拐纺骋嫂猜坤斟归琳张量分析第三章张量分析第三章图3-2rox2x3x1x3t3t2t1tnx2x1bacho(b)(a)例2:如图3-2所示受力物体。若物体在确定的约束条件下处于平衡状态。试分析r点处的应力状态。解:在物体r点处用三个与