文档介绍：第三章张量代数在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射m阶张量空间定义了。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐标系。则的基底为张量都可以表示为:。Pm中的任意在后文的书写中,矢量空间的张量积符号在不致混淆时将略去不写。如:§。且对任意同阶张量(-10)定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减,(-7)、(-8)式给出了张量(同阶)的加法运算和张量的数乘运算。若按(-9)、运算按:(-1)定义。而数乘运算按:(-2)定义。按(-1)和(-2)式容易得出:(-3)2张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外,还可以定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘(矢量本身就是一阶张量)。因此谈到张量(不一定是同阶张量)间的乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。张量积:设张量;则A和B的张量积按:(-4)定义。由定义可以看出AB和BA都是m+n阶张量。且一般AB≠BA(两张量的张量积一般不满足交换律)。对任一组给定的i1,…,im;j1,…,jn值,都是确定的实数。记。则:(-4a)3张量间的张量积运算有如下性质:1.(-5)2.(-5a)(证明由读者自行完成)r点乘(积):设A、B张量的r点乘:。则定义(-6)当m=n=r时,称为A全点乘B。且记为:(-7)由定义(-6)式可知:4(-8)但必须注意一般情况下:(-9)由(-4a)和(-6)式给出的是任意阶张量间的张量积和r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时,更常见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。设u、v是一阶张量(矢量)。A、B、C是二阶张量。则:一阶张量与一阶张量的张量积:(-10a)二阶张量与一阶张量的张量积:(-10b)一阶张量与二阶张量的张量积:(-10c)5二阶张量与二阶张量的张量积:(-10d)一阶张量(全)点乘:(-10e)一阶张量与二阶张量的(一)点乘:(-10f)二阶张量与一阶张量的(一)点乘:(-10g)二阶张量与二阶张量的(一)点乘:(-10h)二阶张量与二阶张量的(双)点乘:(-10i)四阶张量与二阶张量的(双)点乘:(-10j)6二阶张量与四阶张量的(双)点乘:(-10k)由(-10e)、(-10f)、(-10g)、(-10j)、(-10k)定义单位矢量(一阶单位张量)、二阶单位张量和四阶单位张量。即满足:(-11)的分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质:.(-12)且记为。即。并称为单位二阶张量。7大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问的,可以询问和交流83.(-13)且记为。即。并称为单位二阶张量。证:∴∵∴。,且满足。则:(唯一性)9例1:如图3-1所示刚体Ω以角速度ω(ω是对刚体整体运动的述量。ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速度都是ω)。物体点r处的密度为ρ(r);速度矢量为u(r)。则处微分体积dV所包含质量ρ(r)dV对o点动量矩为:Ωroi2i3i1图3-1试证明物体Ω对o点的动量矩为:式中称为物体Ω对o点的二阶惯性矩张量(注:J不是四阶单位张量。但J表达式中的I是二阶单位张量)。证:10