文档介绍：高考解题技术(3)
如何求递推数列的通项
1、代换法
【例1】(2010年重庆理卷21题)在数列中,=1,,其中实数。(1)求的通项公式。(2)(略).
【解析】由得,
令,则原数列转化为,
于是
,即.
评注:这里求出通项,仍然是使用“叠加法”,但递推式是通过换元发现的。
2..配凑法
中,,则通项____
【解析】由两边加1,得,
所以数列是以首项,3为公比的等比数列,
也就是,从而得
评注:从递推式想到两边各加上1,得到等比形式,这种方法叫做“配凑法”,是一种重要的数学能力。
【例3】(2008,陕西理卷,22题)已知数列的首项,,.
(1)求的通项公式;(2)略.
【解析】将已知式两边取倒数得,,即,
令得,比较系数可得,从而是以为首项,
为公比的等比数列,故,于是:.
评注:原题似有的等比数列之形,却又不是等比数列,也不像例2容易配凑出等比数列,这种情况下可以使用待定系数法加工,使其补足等比数列的条件,继而用等比数列公式求其通项。
……
4、“取倒数”
【例4】()
已知数列满足:且
,则图中第5行所有数的和是( )
【解析】递推关系太复杂了,需设法将其简化。
第一步:递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,且分子
为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑取倒数.
由;
第二步:由以上结果及,知是首项且公差
d=“过渡数列”的通项公式是:;
第三步:我们发现虽然不是等比数列,“叠乘法”求通项:
.
已知∴这个数列的通项公式为(n=1也适合).于是“水落石出”,图中第5行所有数的和是:
,故选A.
评注:解题前,似乎“山穷水复疑无路”,后通过先取倒数后实施叠乘,原来却是“柳暗花明又一村”.
——裴波那契数列
【例5】如果一对兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔在它出生后的第 3 个月里,又能开始生一对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由一对初生的兔子开始,n个月后能繁殖成多少对兔子?
【解析】本题为12世纪意大利数学家裴波那契所拟,以下我们考查这道千古名题的数学含义:
由于这对小兔前两个月没有长大,不能生殖,所以前两个月的兔子数都只有一对,也就是:.
第3个月,已经长大的小兔可以生殖1对,所以第