文档介绍：第三章函数及其性质
2009年上海考试手册规定的考试内容:
1、函数的有关概念。
要求:对所学数学只是有理性的认识,能用自己的语言进行叙述,并能据此进行判断;知道它们的由来及其与其他知识点之间的联系;知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。
2、函数的运算。
要求:对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系,掌握其内容与其形式的变化;有关技能已经形成,能用它们来解决简单的有关问题。
3、函数关系式的建立。
要求:能在新的情境中综合的、灵活的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。
4、函数的基本性质。
要求:对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系,掌握其内容与其形式的变化;有关技能已经形成,能用它们来解决简单的有关问题。
知识点归纳:
第一个点:什么是函数?
在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与它对应,那么y就叫做x的函数,记作y=f(x),,x叫做自变量,x的取值范围D叫做函数的定义域;和x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
小提示:
函数的三要素:
定义域、值域、对应法则。
理解关键字“任意”:
在定义域中,对于一个确定的x,这个x是定义域内的任意一个值。
对应法则的理解:
对应法则是某一种运算规律。
etc:(1)、的对应法则为取平方。
(2)、的对应法则为乘2加1。
4、理解关键字“唯一”:
通过运算,只能得到一个确定的值。
从对应的观点来看,有两种对应可以成为函数:一对一和多对一。
图示:
X y x y
一对一多对一
但是有一种情况不是函数:
图示:
X y
一对多
第二个点:反函数的定义。
对于函数y=f(x),设它的定义域为D,值域为A,如果对A中任意一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应,使y=f(x),这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数,记作,习惯上,自变量常用x表示,而函数用y表示,所以把它改写为
小提示:
对于反函数来讲,我们对反函数和函数的定义加以区分,函数的定义是任取一个x,都有唯一的一个y与其对应,体现出的对应形式是一对一和多对一,但是对于反函数只有一对一才有反函数,而多对一不存在反函数,如果唯一的一个x对应唯一的y,这样能判断是否存在反函数。另外,反函数还存在一个重要的性质:函数的图象和它的反函数的图象是以直线y=x为对称轴的轴对称图形。
图示:
说明:函数为互为反函数。
第三个点:两个函数的和与积。
已知两个函数
和函数。
积函数。
第四个点:奇函数与偶函数。
1、奇函数:如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a)=-f(a),那么,称函数f(x)为奇函数。
2、偶函数:如果对于函数f(x)的定义域D内任意实数a,都有f(-a)=f(a),那么称f(x)为偶函数。
小提示:
1、我们可以发现奇函数和偶函数的区分在于比较自变量a与-a的函数值关系,奇函数为相反值,偶函数为相等的关系。
2、函数定义域D关于原点对称是这个函数为奇函数(偶函数)的必要条件。
etc:
关于原点对称:、。
不关于原点对称的:。
图像:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称。
偶函数奇函数
第五个点:研究函数的单调性(增函数和减函数)。
对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值,(1)、当时,都有,那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。
(2)、当时,都有,那么就说函数f(x)在这个区间上是减函数。
(3)、如果函数f(x)在这个区间上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在这一区间是单调函数,这个区间叫做函数f(x)的单调区间。
小提示:
单调函数所具有的增或减是个符号特点,具备一般性,例如要验证增函数,不能验证在区间内的两个特殊值,只能验证在区间上的两个符号,如果当都有,这是增函数。如果当都有,这是减函数。
增函数() 减函数()
我们发现,两个函数的值大小是广义的概念而不是特殊的,如何选取有大小的时候来比较的大小,我们就要善于使用不等式的性质(做差比较法和做商比较法)。
图示:
判断函数在指定区间A上的单调性的过程图示:
设元:设,且。使符号在区间A内,并规定大小。
做差:。做差比较大小(同时我们也可以做商比较大小)。
变形:使比较大小。
如果使做差比较大小:
>0
=0
<0
如果是做商比较大小:
>1
=1
<1
定论:增函数还是减函数。
定论的依据:
(1)、当时,都有,那么就说函数f(x)