文档介绍：第一节四面体单元单元分析空间问题的有限元法,与平面问题有限元法的原理和解题过程是类似的。即将空间结构划分为有限个单元,通过单元分析得到单元的刚度矩阵,采用刚度组集方法,形成整体刚度矩阵,再确定等效载荷列阵,从而得到整体刚度方程,经过约束条件处理并求解方程得到问题的解。本节采用最简单的空间单元,即四面体单元,进行空间问题的有限元分析。一、单元划分及位移模式采用四面体单元处理弹性力学空间问题时,首先将要研究的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四面体为一个单元,四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构就被离散为由四面体单元所组成的有限元网格。空间问题的有限单元法返回图1空间四面体单元(1)xzyijmn如图1所示的四面体单元,单元结点的编码为i,j,m,n。每个结点的位移具有三个分量u,v,w。这样单元结点的位移列阵可表示成:空间问题的有限单元法返回单元的位移模式采用线性多项式(2)式中,为待定系数,由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标(xi,yi,zi)、(xj,yj,zj)、(xm,ym,zm)、(xn,yn,zn)和结点位移(ui,vi,wi)、(uj,vj,wj)、(um,vm,wm)、(un,vn,wn)代入(2)式可得12个联立方程,解方程组便可求出。将这十二个系数回代到(2)式,则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式:空间问题的有限单元法返回(3)式中(4)Ni,Nj,Nm,Nn为四面体单元的形函数空间问题的有限单元法返回其中的系数(i,j,m,n)V是四面体的体积,为了使V不为负值,单元的四个结点i,j,m。空间问题的有限单元法返回n必须按顺序标号:在右手坐标系中,使得右手螺旋在按照i,j,m的转向转动时向n方向前进,见图1。(3)式可以用矩阵形式表示:(5)式中,[I]为三阶单位阵,[N]为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。空间问题的有限单元法返回二、单元应变和应力知道单元内任意一点位移后,可利用几何方程确定单元内该点的应变。将(5)式代入空间问题几何方程得:(6)其中(i,j,m,n)(7)空间问题的有限单元法返回上式表明几何矩阵[B]中的元素都是常量,因此单元中的应变也是常量。也就是说,采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。将(6)式代入物理方程,就得到单元的应力列阵:(8)式中:[S]为四面体单元的应力矩阵,其分块形式为:(i,j,m,n)(9)空间问题的有限单元法返回其中显然单元中的应力也是常量。因此,四面体单元是常应力单元。三、单刚矩阵对于四面体单元,利用虚功原理,采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵(10)空间问题的有限单元法返回其中:[K]e为单元刚度矩阵(11)写成分块形式为(12)空间问题的有限单元法返回