文档介绍：第4章连续函数
§ 连续函数的概念
一基本内容
一、函数在一点的连续性
设函数在内有定义,若,
则称函数在点连续.
:函数在点处连续.
函数在点处连续.
二、单侧连续性
1 左连续函数在点左连续;
2 右连续函数在点右连续.
定理: 函数在点连续函数在点既是左连续又是右连续.
三、间断及其分类
设函数在内有定义,若在点无定义,或在点有定义但不连续,.
间断的分类.
1 可去间断点
若,而在点无定义,或,
则点称为函数的可去间断点.
2 跳跃间断点
左、右极限存在,但不相等的间断点称为跳跃间断点.
而称为跃度.
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点,非第一类间断点称为第二类间断点.
实质:第一类间断点——左、右极限都存在;
第二类间断点——左、右极限至少有一个不存在.
三、函数在区间上的连续性
如果在内的每一点都连续,则称在上连续,如果在上连续,且在点右连续,在点左连续,,则称函数在上分段连续.
二习题解答
1 按定义证明下列函数在其定义域内连续.
(1) .
证:,,限制,则
,
于是,即,所以,取
,
则时,,即,所以,在点连续,故在其定义域内连续.
(2) .
证:,因为,所以,取,则时,,所以,在点连续,故在其定义域内连续.
2 指出下列函数的间断点并说明其类型.
(1) .
解:间断点为,而,所以为第二类间断点.
(2) .
解:间断点为,而,,所以为第一类间断点.
(3) .
解:因为,所以间断点为,而,所以为可去间断点.
(4) .
解:因为,,而,所以为间断点,且是可去间断点.
(5) .
解:因为,所以为间断点,且是第一类间断点.
(6) .
解:因为,所以在点连续,而当时,不存在,故处间断,且为第二类间断点.
(7) .
解:因为,,,所以为其第一类间断点.
3 延拓下列函数,使其R在上连续.
(1) .
解:函数在点没有定义,所以为其间断点,又,.
(2) .
解:函数在点没有定义,所以为其间断点,又,
为在上的连续延拓.
(3) .
解:函数在点没有定义,所以为其间断点,又,
为在上的连续延拓.
4 单调函数,能否有无穷多个间断点?
解:,所有正整数都是其间断点.
5 有界函数能否有第二类间断点?
解:,所有间断点都第二类间断点.
6 设处处连续,试确定的值.
解:因为,,所以为所求.
7 试给出,它处处不连续,但却处处连续.
解:设,则处处不连续,但却处处连续.
8 证明:若在点连续,,那么在I上是否必连续?
证:因为在点连续,所以,即
,
从而时,,于是
,
又,与也在点连续.
,与在上连续,但处处不连续.
9 设当时,.
证:假设f与g在上都连续,则
,
而,所以,此与题设矛盾,故结论成立.
10 设为区间I上的单调函数,证明若为的间断点,则必是的第一类间断点.
证:因为为区间I上的单调函数,所以,
存在,
故结论成立.
11 设函数只有可去间断点,定义,证明连续.
证:因为只有可去间断点,设的定义域为,则
,存在,
定义,则,于是
,
取,取介于之间,则时,
,
从而,故在上连续.
12 设为R上的单调函数,定义,证明在R上的每一点都右连续.
证:不妨设在R上,因为,,所以
,.
从而,取,由单调性得
.
于是,故在R上的每一点都右连续.
13 举出定义在上分别符合下述要求的函数.
(1) 只在、和三点不连续的函数.
解:取即可.
(2) 只在、和三点连续的函数.
解:取即可,其中为狄立克雷函数.
(3) 只在上间断的函数.
解:取即可.
(4) 只在右连续,而在其它点都不连续的函数.
解:取即可.
§ 连续函数的性质
一基本内容
一、连续函数的局部性质
性质1 (局部有界性) 若函数在点连续,则在的某邻域内有界.
性质2 (局部保号性) 若函数在点连续,且,则
.
性质3 (四则运算) 若函数、在点连续,则
亦在连续.
性质4 (复合函数连续性) 若函数在点连续,
在点连续,,则复合函数
在点连续.
实质:复合函数 y = g ( f (x))在点的连续性给出
.
二、闭区间上连续函数的基本性质
性质1 (有界性) 如果在上