文档介绍：第三章连续型随机变量
教学目的
、二维分布函数的定义及性质
,熟悉均匀分布,指数分布,分布的密度。
,牢固掌握正态分布表的查法。
(密度)与边际分布(密度)的概念及计算,了解条件分布的概念。
。
、二维连续型随机变量函数的分布,熟记,t,F分布的构造性定理(了解其推导)
、方差的定义、性质,熟记正态分布的期望、方差、均方差,掌握随机变量协方差(含协方差阵)相关系数,矩概念,了解条件期望的概念。
,熟记单点分布,二项分布、正态分布的特征函数,了解有关结论的推导,了解逆转公式,理解唯一性定理的含义。
§ 随机变量及分布函数
设()是一个概率空间,对于是一个取实值的单值函数,对任意的,有{},则称为()上的一个(实)随机变量。
上面的表上的Borel域
由的构成可见{}是一个事件,这个事件的概率是研究
的统计规律的基础,这个概率显然与x有关,是x的函数,我们称它为的分布函数。
定义3. ()是一概率空间,为定义在()上的随机变量,我们称()
是随机变量的概率分布函数,简称分布函数或分布用简记。
由概率测度的性质易推出,分布函数具有如下基本性质
变量是的,则有
(1)对任意实数,有,(单调不减性) ()
(2)() ()
(3)对一切,(左连续性) ()
证:(1)由可得
(2)由分布函数的定义有,由(1)又是单调函数,故有
,(为整数)
由概率的可列可加性有
1=
=
=
=
所以必有
(3)因单调有界,所以对任一实数点,的左极限存在,且
其中
又因为
由概率的可列可加性
由上述消去得
反过来,也能证明,满足上述(1)——(3)的函数是一个概率分布函数。
由上述可知,分布函数是一种分析性质良好的函数,便于处理。易验,对任意可用的表示出来。
由及概率的连续性得
()
()
()
()
()
可见分布函数全面描述了随机变量的统计规律,对于离散型随机变量来说,其分布列和分布函数是一一对应可互推的,但在离散型场合,我们用分布列更方便。
将三个可辨的质点随机投入三个格子(假定每个格子装任意多质点)以表空格数,求的分布列及分布函数。并求。
解:显然的的可能取值为0,1,2,……
,
即
0
1
2
P
其分布函数为
可见离散型分布函数是一个阶梯函数,它在的每一个可能取值点处有跃度
若
正好是示性函数
Poisson分布的分布函数。
§ 连续型随机变量
若是随机变量,是它的分布函数,如果存在可积函数,使对任意,有
()
则称为连续型随机变量,相应的称为连续型分布函数,同时称为的概率密度函数,简称密度。其具有如下性质:
(1)() (2)()
反之,任意一个实函数具有以上两个性质,则就是一个概率密度。由()式它就定义一个连续型分布函数,由定义看出连续型分布函数是处处连续的,是一个绝对连续函数。
由上定义可得,对连续型
()
特别地: (注意:()不一定是不可能事件)
∴()
由于,(很小时)
因此密度的值在一定程度上反映了在x附近取值的大小,从某种意义上说,连续型随机变量的密度函数与离散型变量的概率函数相当。
在的连续点处,有()
下面举几个常见的连续型分布。
其它
若的密度形如则称服从(a,b)上的均匀分布,记为这时的为
()
若的密度形如:
, (λ>0,为参数)则称服从指数分布
指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似,如某些电子元件的寿命服从指数分布,指数分布与几何分布一样,具有“无记忆性”即有
统计学中常称指数分布为“永远年青”的分布。
若是两个常数,则
, ()
是一个概率密度
称()为正态密度。它对应的为
, ()
称为正态分布,简记为,如果一个随机变量的分布函数是正态分布,则称为正态变量,记为
特别称N(0,1)分布为标准正态分布,其密度记为,相应的分布函数记为,即
, ()
(一)正态密度的性质如下
(1)其密度描述的曲线称为正态曲线,它是以为对称轴的钟形曲线。
(2)