文档介绍：2013年广西高考数学试题的命题特点
南宁二中唐光明
一、立体几何; 二、概率
一、立体几何;
1、立体几何---2013年广西高考数学试题的命题特点;
2013年(理10文11)已知正四棱柱中,,则CD与平面所成角的正弦值等于( )
(A) (B) (C) (D)
答案:A。
解析:本小题主要考查立体几何的线面角基础知识,考查空间想象能力,属于中等难度题。
(法一)设,过点C作于E,连接DE,则就是直线CD与平面所成角,而,则,故CD与平面所成角的正弦值等于。
(法二)设,点C到平面的距离为,由求得,故CD与平面所成角的正弦值等于。
2013年(理文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为,则球O的表面积等于。
答案:。
解析:本小题主要考查球、二面角基础知识,考查了考生代数方程及三角函数的运算能力,考查了考生的空间想象能力,属于作图难度较大的题,是一道综合题。
由已知有,故,即,解得,所以。
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,,,和都是等到边三角形。
(Ⅰ)证明:;
(理Ⅱ)求二面角A-PD-C的大小。
(文Ⅱ)求点A到平面PCD的距离。
本大题主要考查立体几何中棱柱、二面角有关的基础知识,考查考生的空间想象能力,是一道中等难度的题。
解法1:(国标) (Ⅰ)取BC的中点E,连结DE,则四边形ABED
⊥平面ABCD,
OA、OB、OD、OE. 由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线
的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE。
因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD。
因此PB⊥CD。
(理Ⅱ) 解法1: 由(Ⅰ)知,CD⊥ PB,vchwh
CD⊥PO,PB∩ PO=P , 故CD⊥平面PBD。
又PD平面PBD,所以CD⊥ PD。取PD的中点F,PC的中点G,连FG,则FG∥CD,FG⊥,由为等边三角形可得AF⊥PD。所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角。连结AG,EG,则EG∥⊥AE,所以EG⊥AE。
设AB=2,则, 故
在△AFG中,
所以因此二面角A-PD-C的大小为
(理Ⅱ)解法2:由(Ⅰ)知,两两垂直。以O为坐标原点,的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设,
则,
,,,
设平面的法向量为,则,
可得,取,得,故。
设平面的法向量为,则
,,
可得,取得故
于是,由于等于二面角的平面角,所以二面角的大小为。
(文Ⅱ)取PD的中点F,连结OF,则OF∥PB。由(Ⅰ)知,PBvchwh
⊥CD,故OF⊥CD。
又OD= , ,
故△POD为等腰三角形,因此 OF⊥PD。又PD∩CD=D ,所以OF⊥平面PCD。
因为AE∥CD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE∥平面PCD。
因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,
而OF=,所以A到平面PCD的距离为1.
(文Ⅱ国标没有给出空间向量的解法)
2、立体几何-----2013年新课标全国高考数学试题的命题特点
2013新课标卷理科(Ⅰ)
(18)(本小题满分共12分)
如图,三棱柱ABC - A1B1C1中,CA = CB,
AB = A A1,∠BAA1 = 60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB = CB,
求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
2013新课标卷文科(Ⅰ)
19.(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=600.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。
(全国新课Ⅰ、Ⅱ卷非常地相似!)
2013新课标卷文科(Ⅱ)
(18)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB