文档介绍：最值问题在经济管理中的应用
本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用.
1. 最小成本问题
实际问题中成本一般是产量q的函数: C=C(q),求最小成本问题即是求C(q)的最小值问题,但在实用中,经常是用平均成本达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值.
例2 设某企业每季度生产某种产品q个单位时,总成本函数为
(1) 求使平均成本最小的产量;
(2) 求最小平均成本及相应的边际成本.
解(1)平均成本函数为
令, 得唯一驻点
又, 故就是的极小值因而是最小值.
所以,每季度产量为个单位时,平均成本最小.
(2) 当时,最小平均成本为
而边际成本函数为
所以当时,相应的边际成本为
由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本.
一般而言,如果平均成本可导,则令
当在处取得极小值时,有,即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论.
图3-16
例3 铁路线上AB段的距离为100km,工厂C距A处为20km,AC垂直于AB(图3-16),∶5,为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处?
解设AD=x(km), 则DB=100-x(km),
由于铁路上每km货物的运费与公路上每km货物的运费之比为3∶5,因此不妨设铁路上每公里的运费为3k,公路上每公里的运费为5k(k为某个常数,因它与本题的解无关,所以不必定出).设从B点到C点需要的总运费为y,那么y=5k·CD+3k·DB,即
(0≤x≤100)
现在,问题就归结为x在[0,100]内取何值时y的值最小.
令,得唯一驻点x=15
由于其中x=15时,y最小,因此,当AD=15km时,总运费最省.
2. 最大利润问题
在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总成本之差,即
若企业以最大利润为目标而控制产量,问题就转化为选择怎样的产量,使利润最大.
根据极值存在的必要条件可知,
即当边际收入等于边际成本时,企业可获最大利润.
例4 某厂生产服装,每天固定开支为500元,=30-,其中p为每件衣服的单价,q为每天卖出衣服的件数,假设产量等于销量,问每件衣服以多少价格出售才能获利最大,并求最大利润.
解由题意可知,需求函数为. 由此,有
成本函数 C=500+9q = 500+9·25(30 - p)2 0<p<30
收入函数
利润函数
对L(p)求导得
令, 得p=16 (元), L(16)=33800 (元).
根据实际问题,最大利润点一定存在,由于p=16是(0,30)内唯一的驻点,所以当每件衣服的单价为16元时获利最大,最大利润为33800元.
例5 一家工厂生产一种成套的电器维修工具、厂家规定,若订购套数不超过300套,每套售价400元,若订购套数超过300套,每超过一套可以少付1元,问怎样的订购数量,才能使工厂销售收入最大?
解设订购套数为q,销售收入为R(q).那么,当订购套数不超过300套时,每套售价为p=400,当订购套数超过300套时,每套售价为p=400-1×(q-300)=700-,工具每套售价为
由此可得总收入函数为
令,得驻点,且是不可导点.
又当时,,,当q经过的两侧时, 不变号,故==,应将定购套数控制在350套.
,库存变质会造成浪费,库存太少又会使生产活动受到影响,因此,,说明库存问题的解法.
例6 某厂每年需要某种材料3000kg,这个厂对该种原料的消耗是均匀的(即库存量是批量的一半).已知这种材料每kg库存费为2元,每次订货费30元,试求最经济的订货批量和全年订购次数.
解设每次订货批量为xkg,(元),全年订购次数为,订购费为,设定购费与库存费之和为C(x),则
()
令, 在(0,3000]中得唯一驻点x=300kg.
又
故x=300为极小值点,也就是最经济的定货批量为300kg,这时相应的订购次数为10次.
偏导数在经济分析中的应用
,、分别表示函数对自变量和的边际量,下面以边际需求和价格偏弹性为例详细说明偏导数在经济分析中的应用。
设有A、B两种相关的商品,