文档介绍：第二节一元二次不等式及其解法
[知识能否忆起]
一元二次不等式的解集
二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程ax2+bx+c=0的根与一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集的关系,可归纳为:
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
有两相异实根x=x1或x=x2
有两相同实根x=x1
无实根
一元
二次不等式的解集
ax2+bx+c>0(a>0)
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
ax2+bx+c<0(a>0)
{x|x1<x<x2}
∅
∅
若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)不等式x(1-2x)>0的解集是( )
A. B.
C.(-∞,0)∪ D.
答案:B
+6x+1≤0的解集是( )
A. B.
C.
答案:B
3.(2011·福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2.
4.(2012·天津高考)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=__________,n=________.
解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以A=(-5,1),又A∩B≠∅,所以m<1,B=(m,2),由A∩B=(-1,n)得m=-1,n=1.
答案:-1 1
<1的解集为________.
解析:由<1得1->0,即>0,解得x<1,或x>2.
答案:{x|x<1,或x>2}
解一元二次不等式应注意的问题:
(1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数.
(2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,讨论时不要忘记二次项系数为零的情况.
(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.
(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同.
一元二次不等式的解法
典题导入
[例1] 解下列不等式:
(1)0<x2-x-2≤4;
(2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).
[自主解答] (1)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴,如图所示,
原不等式的解集为.
(2)由x2-4ax-5a2>0知(x-5a)(x+a)>0.
由于a≠0故分a>0与a<0讨论.
当a<0时,x<5a或x>-a;
当a>0时,x<-a或x>5a.
综上,a<0时,解集为;a>0时,解集为.
由题悟法
:
(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0);
(2)计算相应的判别式;
(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.
,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.
以题试法
:
(1)-3x2-2x+8≥0;
(2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解:(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,
即(3x-4)(x+2)≤0.
解得-2 ≤x≤,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以(x-1)<0.
所以当a>1时,解为<x<1;
当a=1时,解集为∅;
当0<a<1时,解为1<x<.
综上,当0<a<1时,不等式的解集为;
当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>1时,不等式的解集为.
一元二次不等式恒成立问题
典题导入
[例2] 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
[自主解答] 法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.
①当a∈(-∞,-1) 时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②当a∈[