文档介绍：第一节数列的概念与简单表示法
[知识能否忆起]
、分类与通项公式
(1)数列的定义:
①数列:按照一定顺序排列的一列数.
②数列的项:数列中的每一个数.
(2)数列的分类:
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an+1>an
其中
n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
(3)数列的通项公式:
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)数列1,,,,…的一个通项公式是( )
= =
= =
答案:B
{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( )
解析:选A a8=S8-S7=64-49=15.
{an}的通项公式为an=,则这个数列是( )
解析:选A an+1-an=-==>0.
4.(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an=则a4·a3=________.
解析:a4·a3=2×33·(2×3-5)=54.
答案:54
{an}的通项公式为an=pn+,且a2=,
a4=,则a8=________.
解析:由已知得解得
则an=n+,故a8=.
答案:
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关,,若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列.
(2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别.
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数解析式,即f(n)=an(n∈N*).
由数列的前几项求数列的通项公式
典题导入
[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )
=1 =
=2- =
[自主解答] 由an=2-可得a1=1,a2=2,
a3=1,a4=2,….
[答案] C
若本例中数列变为:0,1,0,1,…,则{an}的一个通项公式为________.
答案:
an=
由题悟法
,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.
以题试法
.
(1)3,5,7,9,…;
(2),,,,,…;
(3)3,33,333,3 333,…;
(4)-1,,-,,-,,….
解:(1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.
(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=.
(3)将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,….
所以an=(10n-1).
(4)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,
所以an=(-1)n·,也可写为
an=
由an与Sn的关系求通项an
典题导入
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn,根据下列条件分别求它们的通项an.
(1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1.
[自主解答] (1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.
当n=1时,4×1+1=5=a1,故an=4n+1.
(2)当n=1时,a1=S1=3+1=4,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2