文档介绍：矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中,主元的个数(即非零行的数目)唯一。
,记为秩(A)
或
(1) 秩(A)=0当且仅当A=0
(2)秩( ) min{m,n}
(3)初等行变换不改变矩阵的秩。
§ 矩阵的秩与矩阵的初等变换
一、矩阵的秩
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求下述矩阵的秩
A=
解
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所以秩为3。
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设A是n阶方阵。若秩(A)=n,则称A是满秩方阵;若秩(A)<n,则称A是降秩方阵。
满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。
二、矩阵的初等变换
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一列对应
元素上去.
(1)对调两列.
(2)以数
乘以一列的所有元素
称对矩阵A的下述变换为初等列变换
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矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换.
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同.
逆变换
逆变换
逆变换
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例如
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。若A可通过有限次初等变换化为B,则称A相抵于B,记为A B。
矩阵的相抵满足:
(1) 自反性:
(2) 对称性:
(3) 传递性:
一种关系如果同时具有自反性,对称性和传
递性,则称其是等价关系.
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设A是m×n矩阵,且秩(A)=r,则A相抵于下述矩阵
称之为A的相抵标准型。
r行
(A的相抵标准形式唯一的)
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A=
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