文档介绍：专题十九概率、随机变量及其分布列
,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客
数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
2
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;
(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,.(注:将频率视为概率)
答案:解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得
P(X=1)==,P(X=)==,P(X=2)==,P(X=)==,P(X=3)==.
X的分布列为
X[来源:学科网]
1
2
3
P
X的数学期望为
E(X)=1×+×+2×+×+3×=.
(2)记A为事件“”,Xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则
P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=)+P(X1==1).
由于各顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以
P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=)+P(X1=)×P(X2=1)=×+
×+×=.
.
结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型,主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用.
本部分复****要从整体上,,而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心,在解题中要充分分析事件之间的关系.
必备知识
互斥事件有一个发生的概率
若A、B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P(A)=1.
相互独立事件与n次独立重复试验
(1)若 A1,A2,…,An是相互独立事件,则P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p,事件A不发生的概率为1-p,那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为:
Pn(k)=Cpk(1-p)n-k.
离散型随机变量的分布列、期望与方差
(1)主干知识:随机变量的可能取值,分布列,期望,方差,二项分布,超几何分布,正态分布.
(2)基本公式:①E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xnpn+…;
②D(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+…+(xn-E(ξ))2pn+…;
③E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ);
④二项分布:ξ~B(n,p),则P(ξ=k)=Cpk(1-p)n-k,E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).
正态分布
(1)若X服从参数为μ和σ2的正态分布,则可表示为X~N(μ,σ2).
(2)N(μ,σ2)的分布密度曲线关于直线x=μ对称,该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.
(3)当X~N(μ,σ2)时,=P(μ-σ<X≤μ+σ),=P(μ-2σ<X≤μ+2σ),=P(μ-3σ<X≤μ+3σ).
以上三个概率值具有重要的应用,要熟记,不可混用.
必备方法
,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了,如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型,就把这部分归结为用独立重复试验概型,用独立重复试验概型的概率计算公式解答.
、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的,我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型,这就要根据问题的具体情况去分析,对照常见的概率模型,把不影响问题本质的因素去除,抓住问题的本质.
:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和方