文档介绍：专题十三空间线面位置关系的推理与证明
,在直三棱柱ABC ­A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
[来源:学&科&网]
求证:(1)平面ADE⊥1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,
所以
CC1⊥平面ABC,
又AD⊂平面ABC,1⊥AD.
又因为AD⊥1,DE⊂1B1,
CC1∩DE=E,
所以AD⊥⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,
1⊥A1F.
1,B1C1⊂1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥1B1.
由(1)知AD⊥1B1,所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE.
本问题主要以解答题的形式进行考查,重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明,而且一般是这个解答题的第一问.
首先要学会认识几何图形,有一定的空间想象能力,,
判断定理和性质定理,以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理,把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化,这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握,并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述.
必备知识
平行关系的转化
两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以要注意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意图.
解决平行问题时要注意以下结论的应用
(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(2)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面.
(3)一条直线与两平行平面中的一个相交,那么它与另一个也相交.
(4)平行于同一条直线的两条直线平行.
(5)平行于同一个平面的两个平面平行.
(6)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交线平行.
垂直关系的转化
与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图.
在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要用此定理进行转化.
必备方法
、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理,将分析法与综合法综合起来考虑.
、垂直时,常转化为线面的平行与垂直,再转化为线线的平行与垂直.
.
,可考虑使用反证法.
,使证算合一,“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的,应不缺不漏,清晰、严谨.
此类问题涉及的知识面较广,综合性较强,常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质,考查学生分析、解决问题的能力,难度中档.
【例1】►如图所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綉AD,BE綉AF,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 要证明四边形BCHG是平行四边形,只要证明GH綉BC或GB綉HC即可;要证明C,D,E,F共面,可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可.
(1)证明由题意知,FG=GA,FH=HD,所以GH綉AD.
又BC綉AD,.
(2)解 C、D、F、:
由BE綉AF,G是FA的中点知,BE綉GF,所以EF綉BG.
由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、,所以C、D、F、E四点共面.
法二由题设知FA,AB,AD两两互相垂直,如图,以A为坐标原点,以射线AB为x轴正方向,以射线AD为y轴正方向,以射线AF为z轴正方向,建立直角坐标系Axyz.
(1)证明设AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得
A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),
D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),
H(0,b,c).
所以=(0,b,0),=(0,b,0),于是=.