数列...的敛散性.pdf

文档介绍：= + q >
数列 an+1 pan (a0 ,q 0) 的敛散性
an

(深圳大学师范学院数学与应用数学专业朱宏波)
(学号:2001123151)

≠
摘要:本文探讨了一类迭代数列= + q > 的敛散性。当 p<1 且 p 0
a n +1 pa n (a 0 , q 0)
a n
≥
时,{an }收敛;当 p 1时,{an }发散。
关键词:数列极限;单调;收敛;发散
= + q >
教师点评:该文探讨了递推数列 a n +1 pa n (a 0 , q 0 ) 的敛散性,得到了
a n
在 P 不同取值下的一系列结果。从文中可以看出该生具有扎实的数学基础知识和较强的探索能
力,本文做为一篇本科毕业论文,当属优秀之作。(点评教师:陈之兵教授)

= + q >
引言:在数学分析中我们常会碰到求形如 an+1 pan (a0 ,q 0) 这样的迭代数列的
an
1 a 2 1 a
= + ∈[3] = + > [4]
极限的问题,如: un (un−1 )(a R) 、 xn+1 (3xn )(x1,a 0) ,本文系
2 un−1 4 xn
统讨论了这类数列的敛散性问题并通过实例说明其应用。
q 1− p q q
记 l = ,m = ;又记 f (x) = px + (x ≠ 0) ,则 f (l) = l, f (−l) = −l ,
1− p p 1− p x
即± l 是其不动点。
一、结果证明
≥
定理 1:设 p 1时,则{ an }是无穷大量,且
→∞
a) p=1 时, an ~ qn(n ) ;
= n →∞
b) p>1 时, an O( p )(n ) ;
证明:
1
1 b
a)“–p =1时C—ßb = ,则b = n > 0,ŠŽ{b }单调递减Bª˜•¶[1]Žæm = 2,
n n+1 + 2 n
an p qbn
x
[x ]2
x [xf ((x)]2 + 2 x2 1
= 为= p qx = =
f (x) 2 ,ˆö lim+ 2 2 lim+ lim+ 2 2 ,
+ x→0 − x→0 x x→0 + −
p qx x [ f (x)] x2 −[ ]2 ( p qx ) 1 2 pq
p + qx2
2 = 1 n = 1 an = →∞
ŠˆÈlimnbn ,‘¦ lim ˆ½lim 1,˜¸Ž§ an ~ 2 pqn(n ).
n→∞ n→∞ 2 n→∞
2 pq an 2 pq 2 pqn
> = + q
b)“– p 0时,”—ña n +1 pa n 单调递增无上界.
a n
∴≤+ q
a n+1 pa n ,
a0
∴≤+ q ≤ 2 + q + q ≤ 3 + 2 q + q + q
a n pa n−1 p a n−2 p p a n−3 p p
a0 a0 a0 a0 a0 a0
n
− q q q p − 1 q
≤Λ≤ p n a + p n 1 + Λ+ p + = p n a + ,
0 0 −