文档介绍：中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5 小题,每小题6 分,满分30 分以下每道小题均给出了代号为A 、B、 C、 D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0 分)
,y 满足,则的值为( )
(A)7 (B) (C) (D )5
,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷2 次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).
(A) (B) (C) (D )
, 圆周上有4 个不同的点,小圆周上有2 个不同的点,
则这6 个点可确定的不同直线最少有( ) .
(A)6 条(B) 8 条(C)10 条(D )12 条
是半径为1的圆O的一条弦,且AB = a < 为一边在圆 O内作正△ABC ,点D 为圆O上不同于点A 的一点,且DB = AB = a,DC的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( ).
(A) (B)1 (C) (D )a
,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).
(A)2 种(B)3 种(C)4 种(D )5 种
二、填空题(共5 小题,每小题6 分,满分30 分)
,v,定义一种运算“*”为:u *v = uv + v .若关于x 的方程有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是;
,发现每隔6 分钟从背后驶过一辆18 路公交车,每隔 3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是
分钟.
,在△ABC 中,AB=7,AC=11,点M 是 BC 的中点,AD是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则 FC 的长为
F
A
B
C
M
D
(第8 题)
9.△ABC中,AB =7,BC =8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I 作DE ∥BC,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE的长为.
,y 的方程的所有正整数解为.
三、解答题(共4 题,每题15 分,满分60 分)
11 (A).在直角坐标系xOy 中,一次函数y = kx + b (k0)的图象与x 轴、 y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB的面积值等于
(1)用b 表示k;
(2)求△OAB 面积的最小值.
11 (B).已知一次函数,二次函数,是否存在二次函数,其图象经过点(-5,2),且对于任意实数x的同一个值,这三个函数对应的函数值,都有成立?若存在,求出函数的解析式;若不存在,请说明理由.
12 (A).是否存在质数p ,q,使得关于x 的一元二次方程
有有理数根?
12 (B).已知a,b 为正整数,关于x 的方程的两个实数根为,
关于 y的方程两个实数根为,且满足。
求b 的最小值.
13 (A ).是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于,另一个内角2 倍的△ABC ?证明你的结论.
13 (B).如图,△ABC 的三边长BC = a,CA = b,AB = c ,a,b,c 都是整数,且a,b的最大公约数为2 .点G 和点I 分别为△ABC的重心和内心,且∠GIC = 90° .求△ABC 的周长.
(第13 (B)题)
14 (A).从1,2,…,9任取n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10 整除,求n 的最小值.
14 (B).已知有6 个互不相同的正整数, 3个数,分别设为,其,记,证明:一定存在3 个不同的数组(i,,j , k),其中,使得对应着的3 .
“《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题参考答案
1、【答】(A)
解:因为,由已知条件得:
2、【答】(C)
解:基本事件总数有,即可以得到36 个二次函数. 由题意知
,即
通过枚举知,满足条件的m,n 有17 对. 故。
3、【答】(B)
解:如图, 圆周上有4 个不同的点A ,B ,C, D ,两两连线可以确定6 条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F中,至少有一