线性代数§4.1.ppt

文档介绍：§ 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量.
例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量.
(1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第2个分量
第n个分量
第1个分量
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写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,通常用a, b, , 等表示, 如:
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量;
2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
堰承邮娇蒂峦永桩于羔放港廓或攒众肚首验送罢倘狞郧圆侯小鞘绿抽低姥线性代数§§
二、向量空间
向量
解析几何
线性代数
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象:可随意平
行移动的有向线段
代数形象:向量
的坐标表示式
坐标系
当 n  3 时,
沈纪势吉真僳孰词肤宙经挟卸的缩接冻无仕涡野应禁芜据歉倪堆脖噬基溃线性代数§§
空间
解析几何
线性代数
点空间:点的集合
向量空间:向量的集合
坐标系
代数形象:向量
空间中的平面
几何形象:空间
曲线、空间曲面
一一对应
点(x, y, z)的集合——平面
向量(x, y, z)T的集合
喇峦笆襄邓页圭旭滤挨缉拔惫峭锌锅婉什眉述因处喧航倦诸阅炭谍凌丫侦线性代数§§
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几何空间的名词. 但其意义更为广泛.
例如: 在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空间位置(x, y, z)有关, 还与时间 t 有关, 这就是四维时空空间, 用向量表示为(x, y, z, t ).
叫做n 维向量空间.
叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.
机身的仰角
机身的水平转角(0  2);
机翼的转角(-<);
确定飞机的状态, 需要以下6个参数:
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三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:
向量组a1, a2,···, an称为矩阵A的列向量组.
飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).
所以确定飞机的状态需用6维向量(x, y, z, , ,)表示.
在日常工作, 学习和生活中, 有许多问题都需要用向量来进行描述.
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向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组a1, a2,···, an构成一个mn矩阵
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
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线性方程组的向量表示
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
m个n维行向量所组成的向量组1T, 2T,···, mT 构成一个mn矩阵
锥怀敖端爱宅洒停拓敛卢漾译盒筏蔽裹租敖擞去胖获蛋区勉揩莉览降鞭糊线性代数§§
定义: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量
k11 + k22 + ··· + kmm
称为向量组A: 1, 2,···, m的一个线性组合, k1, k2, ···, km称为这个线性组合的系数.
给定向量组A: 1, 2, ··· , m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ···,m, 使
b = 11 + 22 + ··· + mm
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 即线性方程组
11 + 22 + ··· + mm = b
有解.
定理1: 向量b能由向量组A: 1, 2, ···,