文档介绍：第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷
(非数学类,2011 年 3 月)

考试形式: 闭卷考试时间: 150 分钟满分: 100 分.

题号一二三四五六七总分
满分 15 10 15 17 16 12 15 100
得分
注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其他纸上一律无效.
2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.
3、如当题空白不够,可写在当页的背面,并标明题号.

得分一、(本题共 3 小题, 每小题各 5 分, 共 15 分)计算下列各
评阅人题(要求写出重要步骤).

1
⎛⎞sin x 1cos− x
(1) lim⎜⎟;
x→0 ⎝⎠x
⎛⎞11 1
(2) lim ⎜⎟+++" ;
n→∞⎝⎠nn++12 nn +
⎧x =+ln(1 e2t ) d2 y
(3) 已知⎪求.
⎨ t 2
⎩⎪yt=−arctan e , dx

得分二、(本题10 分)求方程
评阅人(2xy+− 4)d x + ( xy +− 1)d y = 0 的通解.

得分三、(本题15 分)设函数 f ()x 在 x = 0 的某邻域内有二阶连
评阅人
续导数, 且 f (0) , f ′(0) , f ′′(0) 均不为零. 证明:存在唯一
一组实数kkk123,, , 使得
kf() h+ kf (2) h+− kf (3) h f (0)
lim 12 3 = 0 .
h→0 h2

得分
xyz222
四、(本题17 分)设Σ: + +=1, 其中 abc>>>0 ,
评阅人 1 abc222
1
222
Σ2 : zxy=+, Γ为Σ1 和Σ2 的交线. 求椭球面Σ1 在Γ上各点的切平面到原
点距离的最大值和最小值.

得分⎧xy22+ 31=
五、(本题16 分)已知是空间曲线绕轴旋转
评阅人 S ⎨ y
⎩z = 0
形成的椭球面的上半部分(z ≥ 0 )(取上侧), Π是S 在Px