文档介绍：直线和圆
上海交通大学第二附属中学李欣
圆是一个封闭的曲线图形,因此它有一些直线图形所没有的独特性质,如圆有切线,有旋转不定性,它即是轴对称图形又是中心对称等。但是圆往往要与直线图形相结合,没有这种结合,圆就显示不出它的许多奇特的性质。
圆与直线位置关系有三种情况:相离、相切、相交。
我们有两种方法来判断直线与圆的位置关系
交点法
直线和圆没有公共点————直线和圆相离
直线和圆有一个公共点————直线和圆相切
直线和圆有两个公共点————直线和圆相交
距离法
设圆的半径为R,圆心到直线的距离为d,则
直线和圆相离→d>R
直线和圆相切→d=R
直线和圆相交→d<R
其中圆与直线相切,特别是切线的判断和性质,是圆这一部分的重要内容。下面简单介绍一下圆的切线的判断方法和切线的性质的应用。
[例1]:如图,已知:等腰Rt△ABC,∠C=900,D、E分别为腰的中点
求证:以DE为直径的圆和AB相切
分析:通常在不知道直线和圆有无交点时,
我们一般用距离法d=R来判断圆
和直线相切。
证明:连接CO并延长交AB于F F
∵D、E分别是AC、CB的中点
∴DE∥AB,2DE=AB,且△CDE是等腰Rt△
∵O为DE中点
∴CO⊥DE且2CO=DE
∵DE∥AB
∴OF⊥AB且CO:OF = CD:AD
∴2OF=2CO=DE
即O到AB距离OF等于圆半径
∴DE为直径的圆和AB相切
[例2]:如图,已知:AB为⊙O的直径,BC 切⊙O于B,过A作
AD∥OC交圆于另一点D
求证:CD是⊙O的切线
分析:当直线和圆有一个交点,
一般我们连接圆心和交点,
这时只要证圆心和交点的
连线和直线垂直就可以了。因为D在⊙O上,又在CD上,所以只要证OD
⊥DC
证明:连接OD
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD
∵AD∥CO
∴∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD
∴∠COD=∠COB
∵DO=OB
OC为公共边
∴△OCD ≌△OBC
∴∠ODC = ∠CBO
∵CB是⊙O切线且OB为半径
∴∠CBO=900
∴∠CDO=900
OD⊥CD
CD为⊙O的切线
说明:在切线的判定中,我们可用圆心到直线距离等于半径;也可以用计算直线与圆的交点个数;还可以用过交点的半径垂直于直线加以证明。总之,对于圆的切线问题,只有掌握各种判定方法,才能正确解题。
例3:如图,已知:Rt△ABC,∠C