文档介绍：昭通一中毛孝宗高中立体几何中经常需要计算有关距离(点到线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离)和空间角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)即“三大距离”与“三大角”,传统方法解决这些问题时,应遵循“一作(或找)、二证、三求解”这一步骤,关键是作出垂线段和角。用向量法求解“三大距离”,其本质特征是:一个向量在其所求的距离所在直线(或面)的一个法(或公垂)向量上的投影,也即数量积的直接应用。“三大角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,学生太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学****就会水到渠成!特别是近几年高考中这些问题频繁出现,为了更好地理解和解决上述问题。现将常用的与向量有关知识点列举如下:⑴⑵⑶平面的法向量的定义:直线,取直线的方向向量,那么向量叫做平面的一个法向量。⑷射影的定义:已知向量和轴,是上与同方向的单位向量,作点A在上的射影,作点B在上的射影,则叫做向量在轴上或在方向上的正射影,简称射影。可以证明:同样,设是同方向的向量,则可以证明在上的射影:。(※)⑸设是平面的一个法向量,设直线与平面所成的角为,则,所以基于以上事实,运用法向量来解决一些距离和空间角的问题,有以下几个结论可以应用:⑹定义:是两条异面直线,向量所在的直线同时垂直于,那么向量叫做的公垂向量。结论1:是两条异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离,则。(※)空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何”中向量的工具性的体现,增色了几分美感与统一感!【例1】已知M,N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点,求:异面直线MN与间的距离。【分析及解】本题需要找出异面直线与的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答:以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图1的空间直角坐标系,则,由于M、N是的中点,则,从而,,设与都垂直的方向向量为,则ABCDA1B1D1C1MNxzy图1即即,不妨设,所以异面直线MN与CD1间的距离为结论2:设为平面的法向量,是经过面的一条斜线,,则点到平面的距离。【例2】如图2,正四棱柱中,底面边长为,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,CD的中点,,求三棱锥的体积V。【分析及解】该题需要求点到平面的距离,按传统方法,需要过点作平面的垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答:以D为坐标原点,建立如图2所示的空间直角坐标系,则,,,,∴,,,∴,∴,所以,ABCDA1B1D1C1Exy图2FzG设平面的法向量为,由得,,不妨设,∴点到平面的距离,∴,即为所求。结论3:直线是平面的一条斜线,为平面的法向量,则直线与平面所成角或。【例3】如图3,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D,E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的大小。(结果用反三角函数表示)【分析及解】本题按传统方法,需要作在平面ABD上的射影