文档介绍：§ 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.
偏导数的定义
设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义若极限
存在则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数
记作
>>>
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
偏导数的符号
如果函数zf(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为函数zf(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作
偏导函数
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
偏导数的符号
偏导函数
偏导函数的符号
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偏导函数
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数
例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为
其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点
偏导数的求法
求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可.
偏导函数
讨论
下列求偏导数的方法是否正确?
例1 求zx23xyy2在点(1, 2)处的偏导数.
解
例2 求zx2sin2y的偏导数.
解
解:
证:
例3
设试证
因为
所以.
例4
求
的偏导数
.
证
本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证
偏导数的几何意义
fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x
fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y
z=f(x, y0)
z=f(x0, y)
是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x轴的斜率.
是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率.