文档介绍：
,对任意k都成立,则必有

容易推知对任意常数k均有
于是
,从而函数在点(0,0)
处是连续的。

( ),则
在点(0,0)处连续。
前两个判断正误,第三题填空
课前练习
§ 偏导数
我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念, 是研究函数的有力工具, 它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度. 对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题. 虽然多元函数的自变量不止一个, 但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下, 只考虑函数对其中一个自变量的变化率, 因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题, 这就是偏导数概念, 对此给出如下定义.
一、偏导数的定义及其计算法
定义设函数
在点
的某一邻域内有定义,当
固定在
而
在
处有增量
时,相应地函数有增量
如果
存在,则称此极限为函数
在点
处对
的偏导数,记为
同理可定义函数
在点
处对
的偏导数为
记为
或
,
如果函数
在区域
内任一点
处对
的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
、
的函数,它就称为函数
对自变量
的偏导函数,简称偏导数,记作
,
,
或
偏导数的求法
由偏导数的定义可知,求二元函数的偏导数并不需要新的方法
求时把 y 视为常数而对 x 求导
求时把 x 视为常数而对 y 求导
这仍然是一元函数求导问题
如三元函数 u=f(x, y, z) 在(x, y, z)处的三个偏导数:
偏导数的概念可以推广到二元以上函数,
设n元函数 w=f(x1, x2, ···, xn), w对xi 的偏导数:
( i =1, 2, ···, n)
解:
证:
例1: 求 z = x2 + 3xy + y2 在点(1, 2)处的偏导数.
所以
例2: 设 z = xy (x>0, x1), 求证
所以, 原结论成立.
例3: 已知理想气体的状态方程 pV=RT (R为常数),
求证:
证:
所以
偏导数记号是一个
说明:
不能看作
分子与分母的商!
此例表明,
整体记号,
有关偏导数的几点说明:
2. 求分界点, 不连续点处的偏导数要用定义求;
3. 计算 fx(x0, y0)时可先将 y=y0 代入f(x, y)再对x求导, 然后代入x=x0. 计算 fy(x0, y0)时同理.
1. 偏导数是一个整体记号, 不能拆分;