文档介绍：三次样条插值在船舶邦戎曲线中的应用
船建学院 B1301095 wj
计算原理
1、三次样条插值原理
三次样条插值多项式是一种分段函数,它的应用范围很广,本文探讨该方法在船舶静力学曲线计算和绘制中的应用。节点分成的每个小区间上是3次多项式,其在此区间上的表达式如下:
因此,只要确定了的值,就确定了整个表达式,的计算方法如下:
令:
则满足如下n-1个方程:
对于第一种边界条件下有
如果令那么解就可以写为
2、船舶静力学中的邦戎曲线
船舶邦戎曲线是由一组船舶横剖面的面积曲线组成的,其中每条曲线表示该处横剖面在不同水线以下浸入水中的面积。邦戎曲线是船体纵向积分的基础,利用它可以计算船舶在不同吃水下的排水体积和浮心位置,进而为船舶的稳性与强度计算提供基本数据。因而邦戎曲线的精确性直接影响到船舶的安全性。传统邦戎曲线的计算以型值表为基础,利用梯形积分法,把船体某一横截面上各水线之间的面积近似成梯形,然后把这些小梯形的面积求和得到,但梯形法只有一阶代数精度,对稳性计算要求较高的液货船来说,似乎不够精确。本文提出先把某一横截面上各水线面之间的水线面半宽用1个一元三次函数近似表达,然后在该水线面之间对这个一元三次函数进行积分,得到各水线面之间的小图形面积,再对这些小图形面积进行叠加,得到某一横截面的面积。
3、追赶法计算对角占优方程组
在实际问题中,经常遇到以下形式的方程组
这种方程组的系数矩阵A为三对角矩阵,即
追赶法实际上是高斯消去法的一种简化形式,它同样分消元与回代两个过程。求解基本步骤如下:
(1) 计算的递推公式
,.
(2) 解Ly=f
,
(3) 解Ux=y
.
将计算系数及的过程称为追的过程。将计算方程组的解的过程称为追赶的过程。
4、Simpson公式
Simpson公式是一个数值积分公式,在计算一些多项式函数(三次或三次一下)的定积分时会得出精确值。但容易验证它对于=通常是不准确的,因此,Simpson公式实际上具有三次代数精度,但是配合三次样条插值使用,三次代数精度已满足。
将定积分的积分区间分隔为等分,各节点为
得到Simpson公式:
Matlab程序
1、三次样条插值主程序:
clc;clear;
%%
global x y h s n; %定义全局变量%
y=[0 1 2 3 4];%船舶吃水深度%
x=[0 ];%对应水深下的船宽%
y_0=0;y_n=0;%第一类边界条件%
n=length(x);
for i=1:n-1
h(i)=x(i+1)-x(i); %计算分化间隔%
end
for i=2:n-1
u(i-1)=h(i-1)/(h(i-1)+h(i)); %计算三对角的下对角线1到n-2%
v(i)=h(i)/(h(i-1)+h(i)); %计算三对角的上对角线2到n-1%
d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i-1)+h(i));
%计算d向量(1到n-1)%
end
u(n-1)=1;v(1)=1;%补充定义三对角元素%
d(1)=