文档介绍：数值计算方法作业
实验名称
(P126)
(P127)
实验时间
姓名
班级
学号
成绩
三次样条差值函数
实验目的:
掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。
实验函数:
x
F(x)
求f()和f()的近似值
实验内容:
编程实现求三次样条插值函数的算法,分别考虑不同的边界条件;
计算各插值节点的弯矩值;
在同一坐标系中绘制函数f(x),插值多项式,三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。
三次样条差值函数的收敛性
实验目的:
多项式插值不一定是收敛的,即插值的节点多,效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢?理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的,通过本实验可以证明这一理论结果。
实验内容:
按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点,并不断增加插值节点的个数。
实验要求:
随着节点个数的增加,比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况,分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较;
三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子,考虑如下例子:某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线,其中一段数据如下:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
算法描述:
拉格朗日插值:
其中是拉格朗日基函数,其表达式为:
牛顿插值:
其中
三样条插值:
所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数,它在节点Xi(a<X0<X1……<Xn<b)分成的每个小区间[xi-1,xi]上是三次多项式,其在此区间上的表达式如下:
式中Mi=.
因此,只要确定了Mi的值,就确定了整个表达式,Mi的计算方法如下:
令
则Mi满足如下n-1个方程:
常用的边界条件有如下几类:
给定区间两端点的斜率m0,mn,即
给定区间两端点的二阶导数M0,Mn,即
假设y=f(x)是以b-a为周期的周期函数,则要求三次样条插值函数S(x)也为周期函数,对S(x)加上周期条件
对于第一类边界条件有
对于第二类边界条件有
其中
那么解就可以为
对于第三类边界条件,,由此推得
,其中
,那么解就可以为:
程序代码:
1拉格朗日插值函数
function f=lang(X,Y,xi)
%X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%f求得的拉格朗日插值多项式的值
n=length(X);
f=0;
for i=1:n
l=1;
for j=1:i-1
l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));
end;
for j=i+1:n
l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));
end;%拉格朗日基函数
f=f+l*Y(i);
end
fprintf('%d\n',f)
return
2 牛顿插值函数
function f=newton(X,Y,xi)
%X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%f求得的拉格朗日插值多项式的值
n=length(X);
newt=[X',Y'];
%计算差商表
for j=2:n
for i=n:-1:1
if i>=j
Y(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1));
else Y(i)=0;
end
end
newt=[newt,Y'];
end
%计算牛顿插值
f=newt(1,2);
for i=2:n
z=1;
for k=1:i-1
z=(xi-X(k))*z;
end
f=f+newt(i-1,i)*z;
end
fprintf('%d\n',f)
return
3三次样条插值第一类边界条件
function S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)
% X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%S求得的三次样条插值函数的值
%dy0左端点处的一阶导数
% dyn右端点处的一阶导数
n=length(X)-1;
d=zeros(n+1,1);