文档介绍：2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)
1.(7分)已知非零实数a,b满足|2a﹣4|+|b+2|++4=2a,则a+b等于( )

A.
﹣1
B.
0
C.
1
D.
2

2.(7分)如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( )

A.
B.
C.
1
D.
2

3.(7分)将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组只有正数解的概率为( )

A.
B.
C.
D.

4.(7分)(2006•鄂尔多斯)如图1,在直角梯形ABCD,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,由B﹣﹣C﹣﹣D﹣﹣A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果关于x的函数y的图象如图2,则△ABC的面积为( )

A.
10
B.
16
C.
18
D.
32

5.(7分)关于x,y的方程x2+xy+2y2=29的整数解(x,y)的组数为( )

A.
2组
B.
3组
C.
4组
D.
无穷多组

二、填空题(共5小题,每小题7分,满分35分)
6.(7分)一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶_________ km.

7.(7分)已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为_________ .

8.(7分)已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数,若b是关于x的方程(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)(x﹣a4)(x﹣a5)=2009的整数根,则b的值为_________ .

9.(7分)如图,在△ABC中,CD是高,CE为∠=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于_________ .

10.(7分)(2009•呼和浩特):每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人,,则报3的人心里想的数是_________ .

三、解答题(共4小题,满分80分)
11.(20分)已知抛物线y=x2与动直线y=(2t﹣1)x﹣c有公共点(x1,y1),(x2,y2),且x12+x22=t2+2t﹣3.
(1)求实数t的取值范围;
(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

12.(20分)已知正整数a满足192|a3+191,且a<2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

13.(20分)如图,给定锐角三角形ABC,BC<CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,,并证明你的结论.

14.(20分)n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n﹣.

2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)
1.(7分)已知非零实数a,b满足|2a﹣4|+|b+2|++4=2a,则a+b等于( )

A.
﹣1
B.
0
C.
1
D.
2
考点:
非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:
分析:
首先根据算术平方根的被开方数≥0,求出a的范围,进而得出|2a﹣4|等于原值,代入原式得出+=.
解答:
解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是a=3,b=﹣2,从而a+b=1.
故选C.
点评:
本题主要考查了算术平方根的性质和根据两个非负数之和等于0,求未知数的值.

2.(7分)如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=